Intentando entender por qué se invirtió la señal en esta ecuación de respuesta a pasos RC

Es lo mismo de cualquier manera. No tienes que multiplicar por -1. Pruébalo:

$$ \ begin {align} \ frac {dt} {RC} & = \ frac {dv} {v_s-v} \\ \\ \ int_ {v_0} ^ v \ frac {dv} {v_s-v} & = \ int_ {0} ^ t \ frac {dt} {RC} \\ \ end {align} $$

olvidemos el lado derecho, ya que no corresponde a tu pregunta.

Utilizando

$$ \ begin {align} \ int \ frac {1} {ax + b} dx = \ frac {1} {a} Ln | ax + b | \\ \ end {align} $$

entonces \ $ a = -1 \ $ y \ $ b = v_s \ $ tan

$$ \ begin {align} \ int_ {v_0} ^ v \ frac {dv} {v_s-v} \ rightarrow (-1) ln | v_s-v | \\ \ end {align} $$

ahora sigue el resto del tutorial y eventualmente terminarás con

$$ \ begin {align} -v & = -v_s + (v_s-v_0) e ^ {\ frac {-t} {RC}} \\ \ end {align} $$

En qué punto, obviamente, para resolver \ $ v \ $, multiplica ambos lados por -1.

En pocas palabras, \ $ v - v_s \ $ tiene una interpretación más sencilla que \ $ v_s - v \ $.

\ $ v - v_s \ $ es solo una traducción.

\ $ v_s - v \ $ es una traducción y una inversión espejo / signo para \ $ v \ $.

Personalmente, no veo un problema en la ejecución de un paso antes si sabes lo que tienes que terminar como educador. No debe llevar a una respuesta diferente, y puede hacer que otros pasos sean más fáciles de ver. Ese menos habrá aparecido allí de alguna manera más tarde de todos modos.

$$ \ begin {align} \ frac {dt} {RC} & = \ frac {dv} {v_s-v} \\ & \ Downarrow \\ \ frac {1} {RC} \ int_0 ^ tdt & = \ int_ {v_0} ^ v \ frac {1} {v_s - v} dv \\ & \ Downarrow \\ \ frac {t} {RC} & = - \ int_ {v_0} ^ v \ frac {1} {v_s-v} d (-v) \\ & \ Downarrow \\ \ frac {t} {RC} & = - \ left (\ ln | v_s-v | - \ ln | v_s-v_0 | \ right) \\ & \ Downarrow \\ \ frac {t} {RC} & = - \ ln \ left | \ frac {v_s-v} {v_s-v_0} \ right | \\ & \ Downarrow \\ - \ frac {t} {RC} & = \ ln \ left | \ frac {v-v_s} {v_0-v_s} \ right | \ end {align} $$

No importa lo que intentes, siempre y cuando tengas equivalencia, terminarás con las mismas ecuaciones de una forma u otra. Si obtuviste un resultado diferente al del profesor, has hecho algo mal.