¿Por qué se usa el cuadrado medio de la raíz al calcular la potencia promedio y no simplemente el promedio de voltaje / corriente?

Tome un ejemplo simple donde las sumas son triviales. Tengo un voltaje que está encendido el 50% del tiempo y apagado el 50% del tiempo. Es 10V cuando está encendido. La tensión media es, pues, de 5V. Si conecto una resistencia de 1 ohm a través de ella, disipará 100W cuando esté encendido y 0W cuando esté apagado. La potencia media es así de 50W.

Ahora deja el voltaje encendido todo el tiempo pero hazlo a 5V. El voltaje promedio sigue siendo de 5V, pero la potencia promedio es de solo 25W. Ups.

O supongamos que tengo el voltaje solo el 10% del tiempo, pero es de 50V. El voltaje promedio es de 5V nuevamente, pero la potencia es de 2500W cuando está encendido y de 0W cuando está apagado, por lo que el promedio de 250W.

En realidad, para calcular la potencia en general tiene que integrar (voltaje instantáneo) * (corriente instantánea) durante un período de la forma de onda para obtener el promedio (o de 0 a algún tiempo t como en su ejemplo para encontrar el poder en algún intervalo).

Si (y es grande si) la carga es resistencia fija R , puede decir que v = i * R, por lo que la potencia instantánea es i ^ 2 * R y, entonces, puede integrar i ^ 2 durante el período para obtener la "corriente RMS", y multiplicar por R más tarde (ya que está fijo, no entra en la integral).

La corriente RMS no es particularmente útil si la carga es algo no lineal como un diodo. Puede ser útil para analizar pérdidas en algo así como un condensador con un ESR dado. Las pérdidas (y el efecto de calentamiento resultante que acorta la vida útil del condensador) serán proporcionales a la corriente RMS, no al promedio.

  

Para que la potencia sea media, debo ser corriente media, por lo que estoy suponiendo   que la corriente efectiva es la corriente promedio.

En resumen, el voltaje promedio x la corriente promedio solo es igual a la potencia promedio cuando el voltaje y la corriente son cantidades de CC. Piensa en el siguiente ejemplo: -

Si aplicara 230 V CA desde el tomacorriente de la red eléctrica a un elemento de calefacción, se calentaría o incluso calentaría. Es la toma de poder lo que puede ser facturado. 230 V CA es una onda sinusoidal y todas las ondas sinusoidales tienen un valor promedio de cero. La corriente resultante que fluye a través del elemento de calentamiento es también una onda sinusoidal con un valor promedio de cero.

Por lo tanto, usar el voltaje promedio x la corriente promedio produce una potencia promedio de cero y claramente eso es incorrecto. Es la tensión RMS x la corriente RMS la que dará una respuesta significativa (independientemente de si es CC o CA).

Tienes que volver a lo básico y preguntarte qué es la potencia: es voltaje x corriente y estos son valores instantáneos multiplicados juntos. Esto da como resultado una forma de onda de potencia como esta: -

Debidoalactodelamultiplicación,laformadeondadepotenciaahoratieneunvalorpromedioqueesdistintodecero.Yendounpasomásallá,silaresistenciadecargafuerade1ohm,laamplituddelacorrienteseráigualalaamplituddelvoltajeaplicado,porloquelapotenciaseconvierteenelpromediode\$v^2\$.

Estonosllevaadecirquelapotenciaesthemeanofthesquareofvoltage(ocorriente)y,dadoquehemoselegido1ohmenesteejemplo,tambiénpodemosdecirqueelvoltajeefectivoqueproduceestapotenciaeselsquarerootofthemeanofthevoltagesquaredoelvalor"RMS".

Entonces, para una onda sinusoidal de amplitud pico \ $ v_ {pk} \ $, la parte superior de la onda de potencia es \ $ v ^ 2_ {pk} \ $ y, debido a que la onda de potencia producida por una onda sinusoidal al cuadrado También es una onda sinusoidal (al doble de la frecuencia), el valor promedio (promedio) es: -

\ $ \ dfrac {v ^ 2_ {pk}} {2} \ $. Luego, tomando la raíz cuadrada para obtener el voltaje efectivo obtenemos \ $ \ sqrt {\ dfrac {v ^ 2_ {pk}} {2}} \ $ o \ $ \ dfrac {v_ {pk} } {\ sqrt {2}} \ $

En efecto, el valor RMS de un voltaje de CA (o corriente) es el valor equivalente de un voltaje de CC (o corriente) que produce el mismo efecto de calentamiento en una carga resistiva.

Por lo tanto, no, el voltaje promedio o la corriente promedio son irrelevantes, pero la potencia promedio es la clave.

El diablo está en los detalles cuando trabajas las matemáticas.

Dado que la potencia instantánea \ $ P_ \ text {inst} = i ^ 2 \ cdot R \ $, la potencia promedio es: $$ P_ \ text {avg} = \ overline {P_ \ text {inst}} = \ overline {i ^ 2 \ cdot R} = \ overline {i ^ 2} \ cdot R = \ frac {1} {T} \ int_ {0} ^ {T} i ^ 2dt \ cdot R $$

La corriente continua efectiva es aquella que disipa la misma potencia promedio $$ P_ \ text {avg} = I_ \ text {eff} ^ 2 \ cdot R $$ entonces sigue: $$ I_ \ text {eff} ^ 2 = \ frac {1} {T} \ int_ {0} ^ {T} i ^ 2 \ dt $$ $$ I_ \ text {eff} = \ sqrt {\ frac {1} {T} \ int_ {0} ^ {T} i ^ 2 \ dt} $$

Si observas el voltaje / corriente promedio y el voltaje / corriente RMS, son diferentes debido a las propiedades de las integrales. En otras palabras, $$ \ int_ {a} ^ {b} i ^ 2 \ dt \ neq \ Big [\ int_ {a} ^ {b} i \ dt \ Big] ^ 2 $$ Si esta propiedad fuera cierta, entonces se podría sacar el cuadrado de la integral y cancelar con la raíz cuadrada.

Además, está el problema de \ $ \ frac {1} {T} \ $ debajo de la raíz cuadrada que también causaría problemas.

En resumen, es porque las matemáticas no funcionan de esa manera.

La potencia promedio es solo la integral del trabajo, en un período de tiempo finito, dividido por ese período de tiempo. Para su caso, cada instante de trabajo es:

$$ \ textrm {d} U = P_t \ cdot \ textrm {d} t = R_t \ cdot I_t ^ 2 \ cdot \ textrm {d} t $$

Entonces, lo integras para obtener el trabajo total durante un período finito y luego, para convertirlo en un valor de potencia promedio, simplemente lo divides por el período finito. O:

$$ \ overline {P} = \ frac {1} {t_1-t_0} \ int_ {t_0} ^ {t_1} R_t \ cdot I_t ^ 2 \ cdot \ textrm {d} t $$

Si \ $ R_t \ $ es una constante en el tiempo, entonces:

$$ \ overline {P} = R \ cdot \ frac {1} {t_1-t_0} \ int_ {t_0} ^ {t_1} I_t ^ 2 \ cdot \ textrm {d} t $$

Pero si desea construir ahora algún tipo de corriente efectiva ficticia que se ajuste al modelo \ $ R \ cdot I_ {eff} ^ 2 \ $, entonces simplemente inspeccione la ecuación anterior. debe ser el caso que:

$$ \ begin {align *} \ overline {P} = R \ cdot I_ {eff} ^ 2 = R \ cdot \ frac {1} {t_1-t_0} \ int_ {t_0} ^ {t_1} I_t ^ 2 \ cdot \ textrm {d} t \ \ \ por lo tanto ~~~~~~~~~~~~~ I_ {eff} ^ 2 & = \ frac {1} {t_1-t_0} \ int_ {t_0} ^ {t_1} I_t ^ 2 \ cdot \ textrm {d} t \ end {align *} $$

Es solo una sustitución equivalente, ¿verdad?

Y luego, obviamente:

$$ \ begin {align *} I_ {eff} & = \ sqrt {\ frac {1} {t_1-t_0} \ int_ {t_0} ^ {t_1} I_t ^ 2 \ cdot \ textrm {d} t} \ end {align *} $$

Si empiezas las cosas para que \ $ t_0 = 0 \ $ y establezcas \ $ t_1 = t \ $, obtendrás tu propia ecuación. Es así de fácil, realmente.

Imagina que dos corrientes fluyen simultáneamente a través de tu carga:

• corriente DC de 1A
• Corriente CA con amplitud 1A

La corriente total se verá así:

Ahora, si aplicamos su fórmula para \ $ I_ {eff} \ $, obtendremos 1A, como si el componente de CA no produjera energía. Espero que esté de acuerdo en que esto tiene aún menos sentido que la fórmula original.

Considere \ $ R = 1 \ Omega \ $ y una corriente de 1A por un segundo y 10A por otro segundo. ¿Cuál es la potencia media?

Obviamente, es $$ \ bar {P} = \ frac {1s \ cdot 1A ^ 2 \ cdot 1 \ Omega + 1s \ cdot 10A ^ 2 \ cdot 1 \ Omega} {2s} = 50.5W $$

Vamos a reescribir esto:

$$ \ bar {P} = 1 \ Omega * \ underbrace {\ left (\ frac {1s \ cdot 1A ^ 2 + 1s \ cdot 10A ^ 2} {2s} \ right)} _ {= I_ { ef} ^ 2} $$

Por otro lado, la corriente promedio es de 5.5A, lo que da una "potencia promedio" de 30.25W.

El punto es, la fórmula de poder contiene el cuadrado de la corriente, por lo que la corriente efectiva es mayor que solo el promedio de (el valor absoluto de) la corriente.

Déjame poner esto en términos más generales: La potencia instantánea P (t) disipada sobre una carga es un producto (en sentido matemático como multiplicación) de V (t) e I (t). O I (t) * I (t) / R para el caso. La potencia promedio es, por lo tanto, un promedio de [I (t) * I (t)] / R. La paradoja se encuentra en el conocido teorema matemático de que un promedio de un producto de funciones variables no es igual al producto de sus promedios ,

[(V (t) I (t)]! = [V (t)] * [I (t)];

equivalentemente,

[I (t) ^ 2]! = [I (t)] * [I (t)]

Para ilustrar este problema de cálculo básico hasta un extremo, suponga que tiene una carga de resistencia de 1 Ohm, y la tensión se pulsa como 10 V para un ciclo de trabajo del 10%, un 10% más, un 90% sin tensión. La potencia real disipada es 10V * 10A = 100W para el 10% del ciclo de trabajo y cero para el resto del ciclo de trabajo. Por lo tanto, la potencia promedio disipada por esta resistencia es 10W .

Ahora, si toma (¡o incluso mide!) los promedios por separado usando medidores separados, el promedio [V] de esta forma de onda pulsada aparecerá como 1V, y el promedio de I vendrá como 1A. Al multiplicar los resultados medidos, se puede llegar a la conclusión de que la potencia consumida por este "dispositivo" es solo 1W, lo cual será totalmente incorrecto por un factor de 10.

Este es un error típico en muchas disciplinas y aplicaciones. Por ejemplo, este error está en la base de muchas afirmaciones falsas de algunos calentadores de agua mágicos que producen más salida que la "electricidad consumida" generalmente explicada por "fusión fría", o alguna otra BS. Incluso hay patentes concedidas en estos "calentadores pulsados".