Con respecto a las otras respuestas: Olin considera el caso correspondiente del mundo real, pero tenga en cuenta que en \ $ P = \ frac {1} {T} \ int \ x (t) ^ 2 \ mathrm {d} t \ $ any la escala de tiempo se cancela, por lo que su argumento realmente no funciona. Lo verá explícitamente si aproxima la integral por una suma sobre los pasos del tamaño del período de muestra:
$$
\ frac {1} {T} \ int_ {0} ^ {T} x (t) ^ 2 \ mathrm {d} t \ approx \ frac {1} {N \ Delta T} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n \ Delta t) ^ 2 \, \ Delta t = \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n \ Delta t) ^ 2 \,
$$
donde \ $ \ Delta t \ $ es el período de muestreo. Observe cómo el tiempo se cancela de la escala.
Por otro lado, Seb habla sobre el poder en el dominio discreto. Técnicamente tiene razón, pero entiendo que la pregunta era sobre el poder de la señal del mundo real correspondiente, que por supuesto no debería depender de la frecuencia de muestreo. Déjame intentar combinar estas vistas:
El muestreo por encima del relleno cero no representa la misma señal del mundo real . Considere lo que sucede en el dominio de frecuencia: para un factor de muestreo ascendente \ $ k \ $ la señal se replica \ $ k \ $ veces. Regreso al dominio del tiempo: si estuviera muestreando correctamente la señal, insertaría una función sinc
$$
k \, \ mathrm {sinc} \ left (\ frac {n - n_0} {k} \ right) = k \ frac {\ sin \ left (\ frac {\ pi (n - n_0)} {k} \ right )} {\ pi (n - n_0)},
$$
multiplicado por \ $ x [n_0] \ $, en cada posición \ $ n_0 \ $ donde anteriormente había una muestra y suma. Tenga en cuenta que la integral de un cuadrado sinc con la escala anterior es \ $ k \ $ (simplemente haga un cambio de variables en la fórmula dada here ).
Dado que la suma \ $ \ sum_ {n = 0} ^ N x [n] ^ 2 \ $ se aproxima a una integral, obtendrás aproximadamente \ $ k \ $ veces la energía total original (aunque aquí lo ignoro descaradamente crossterms en la suma de los sincs), pero por otro lado, como notó, tiene \ $ k \ $ veces las muestras sobre las que se divide, por lo que la potencia es la misma dado el remuestreo apropiado .
Regrese al punto del principio sobre el dominio de la frecuencia: si la señal se replicó \ $ k \ $ veces cuando el relleno es cero, ¿por qué la energía total no aumentó en un factor? de \ $ k \ $? Esto se debe a que hay un factor de \ $ 1 / N \ $ en teorema de Parseval , que le permite calcular el Energía de la DFT. Pero, ¿no disminuye la energía total cuando limitamos la banda para la interpolación? No realmente, ya que la ganancia de nuestro filtro de interpolación es \ $ k \ $, y cuando se usa el teorema de Parseval para calcular la energía en el dominio de la frecuencia, eso se hace al cuadrado. Entonces, la energía se multiplica por \ $ k ^ 2 \ $, pero, por otro lado, limitamos el espectro a \ $ 1 / k \ $, por lo que obtenemos un factor total de \ $ k \ $, consistente con nuestro dominio de tiempo cálculo. Esto también muestra que cuando ignoré los términos cruzados al estimar la escala de la energía total, no cometí ningún error.