¿Función de transferencia de tres filtros RC en cascada?

Del siguiente esquema:

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

Obtengo el siguiente conjunto de expresiones:

$$ \ begin {align *} \ frac {V_O} {R_3} + s \: C_3 \: V_O & = \ frac {V_Y} {R_3} \ tag {$ V_O $} \\\\ \ frac {V_Y} {R_2} + \ frac {V_Y} {R_3} + s \: C_2 \: V_Y & = \ frac {V_X} {R_2} + \ frac {V_O} {R_3} \ tag {$ V_Y PS \ frac {V_X} {R_1} + \ frac {V_X} {R_2} + s \: C_1 \: V_X & = \ frac {V_I} {R_1} + \ frac {V_Y} {R_2} \ tag {$ V_X PS \ end {align *} $$

Resolviendo, obtengo este gran problema:

$$ \ begin {align *} \ tfrac {V_O} {V_I} = \ tfrac {1} {\ frac {R_1} {R_2 R_3} \ left [R_2 ^ 2 R_3 ^ 2 \ left (C_1 s + \ frac {1} {R_1} + \ frac { 1} {R_2} \ derecha) \ izquierda (C_2 s + \ frac {1} {R_2} + \ frac {1} {R_3} \ derecha) \ izquierda (C_3 s + \ frac {1} {R_3} \ derecha) - R_2 ^ 2 \ left (C_1 s + \ frac {1} {R_1} + \ frac {1} {R_2} \ right) -R_3 ^ 2 \ left (C_3 s + \ frac {1} {R_3} \ right) \ right ]} \ end {align *} $$

Avanzando hacia una forma característica:

$$ \ begin {align *} \ tfrac {V_O} {V_I} & = \ frac {K} {s ^ 3 + A \ cdot s ^ 2 + B \ cdot s + C}, \ quad where, \\\\ K & = \ frac {1} {C_3 C_2 C_1 R_3 R_2 R_1} \\\\ A & = \ frac {1} {C_1 R_1} + \ frac {1} {C_1 R_2} + \ frac {1} {C_2 R_2} + \ frac {1} {C_2 R_3} + \ frac {1} { C_3 R_3} \\\\ B & = \ frac {1} {C_2 C_1 R_2 R_1} + \ frac {1} {C_2 C_1 R_3 R_1} + \ frac {1} {C_2 C_1 R_3 R_2} \\ & \ quad \ quad + \ frac {1} {C_3 C_1 R_3 R_1} + \ frac {1} {C_3 C_1 R_3 R_2} + \ frac {1} {C_3 C_2 R_3 R_2} \\\\ C & = \ frac {1} {C_3 C_2 C_1 R_3 R_2 R_1} \ end {align *} $$

En este punto, creo que pasa a una sustitución para obtener el denominador en la forma de \ $ x ^ 3 + p \ cdot x + q \ $ con \ $ x = s- \ frac {A} {3 } \ $, \ $ p = B- \ frac {A ^ 2} {3} \ $ y \ $ q = \ frac {2 A ^ 3} {27} - \ frac {AB} {3} + C \ $, luego reemplazo de variable usando \ $ x = \ sigma + j \ omega \ $, luego clasificando en partes reales e imaginarias. Y así. Disfrutar.

Puede determinar esta función de transferencia sin escribir una sola línea de álgebra utilizando las técnicas de circuitos analíticos rápidos o FACTs . Lo que debe hacer es determinar las constantes de tiempo naturales de este circuito cuando la excitación (\ $ V_ {in} \ $) se reduce a 0 V o se reemplaza por un cortocircuito en el esquema. Luego, "observa" la resistencia ofrecida por cada uno de los elementos de almacenamiento de energía (los condensadores en este ejemplo) en CC o en alta frecuencia. Mira el siguiente boceto:

Primero,mirelafuncióndetransferencia\$H_0\$para\$s=0\$:abratodaslasmayúsculasyencuentreque\$H_0=1\$.Luego,determineporinspección,esdecir,simplementeobserveelesquema:laresistenciaofrecidaporlosterminalesdeconexióndecadacapacitorcuandolasotrastapasseencuentranensuestadodeCC(impedanciainfinitaoseeliminandelcircuito).Enestemodo,lafuentedeexcitaciónsereducea0Vysereemplazaporuncableenelesquema.Para\$C_1\$,laresistenciaque"ves" es la conexión en serie de \ $ R_1 \ $ y \ $ R_2 \ $ por lo que la primera constante de tiempo es \ $ \ tau_1 = C_1 (R_1 + R_2) \ $. Para \ $ \ tau_2 \ $, la resistencia es \ $ R_2 \ $ y luego \ $ \ tau_2 = C_2R_2 \ $. Y para \ $ \ tau_3 \ $, la resistencia es \ $ R_1 + R_2 + R_0 \ $ luego \ $ \ tau_3 = C_0 (R_1 + R_2 + R_0) \ $. Agregar estas constantes de tiempo forma el primer coeficiente de denominador \ $ b_1 = \ tau_1 + \ tau_2 + \ tau_3 \ $. 1 mn para obtener este resultado sin un cálculo, solo inspección.

Para el segundo término, \ $ b_2 \ $, veremos \ $ \ tau_ {12} \ $, \ $ \ tau_ {13} \ $ y \ $ \ tau_ {23} \ $. Esta notación simplemente significa que para \ $ \ tau_ {12} \ $, usted "mira" la conducción de resistencia \ $ C_2 \ $ mientras que \ $ C_1 \ $ se establece en su estado de alta frecuencia (un cortocircuito). Por ejemplo, mirando el esquema anterior, verá que \ $ \ tau_ {12} = C_2 (R_1 || R_2) \ $. Continúe y forme \ $ b_2 = \ tau_1 \ tau_ {12} + \ tau_1 \ tau_ {13} + \ tau_2 \ tau_ {23} \ $.

Para el término final, \ $ b_3 \ $, determine \ $ \ tau_ {123} \ $: observe la resistencia de los terminales \ $ C_0 \ $ mientras que \ $ C_1 \ $ y \ $ C_2 \ $ están configurados en su estado de alta frecuencia (un cortocircuito). Luego, ensambla \ $ b_3 = \ tau_1 \ tau_ {12} \ tau_ {123} \ $. Esto es, tienes tu denominador \ $ D (s) = 1 + sb_1 + s ^ 2b_2 + s ^ 3b_3 \ $ y la función de transferencia es inmediata e igual a

\ $ H (s) = H_0 \ frac {1} {1 + sb_1 + s ^ 2b_2 + s ^ 3b_3} \ $.

con:

\ $ b_1 = R_1C_1 + R_2 (C_1 + C_2) + C_0 (R_1 + R_2 + R_0) \ $ \ $ b_2 = C_1 (R_1 + R_2) (C_2 (R_1 || R_2) + R_0C_0) + R_2C_2C_0 (R_1 + R_0) \ $ \ $ b_3 = C_1C_2C_0R_1R_2R_0 \ $

Ahora, esta forma polinomial de tercer orden se puede reorganizar bajo diferentes expresiones, dependiendo de cómo estén organizados los polos. Si están bien distribuidos, puede factorizar \ $ D (s) \ $ as \ $ D (s) \ approx (1 + b_1s) (1+ \ frac {b_2} {b_1} s) (1+ \ frac { b_3} {b_2} s) \ $. Si dos polos están cerca uno del otro, entonces un polo domina mientras que aparece una forma polinomial de segundo orden para los dos polos coincidentes. He capturado todas estas expresiones, así como la expresión de referencia sin procesar obtenida con Thévenin (para comparar los resultados derivados) y todas coinciden perfectamente. Vea los disparos de Mathcad a continuación:

Como puede ver con los HECHOS, no escribí una sola línea de álgebra y corté el esquema original en una serie de pequeños bocetos observados individualmente. Eso significa que si detecto un error entre la expresión en bruto y mi forma canónica, puedo volver al pequeño boceto y corregir el culpable de inmediato. Si usa KVL / KCL y encuentra un error, buena suerte para corregirlo sin reiniciar desde cero. Los HECHOS son realmente el camino a seguir y animo a los estudiantes a adquirir esta habilidad.