El signo en la fórmula para el voltaje a través del inductor

En la forma en que lo dibujaste, I y \ $ \ frac {dI} {dt} \ $ son positivos en la dirección de la flecha y la expresión correcta es

\ $ V_L = L \ frac {dI} {dt} \ $

El signo negativo depende de la dirección en que defina su voltaje y corriente.

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

TLDR
La fórmula no se deriva de la ecuación de Maxwell-Faraday , porque el campo eléctrico inducido es circular y el potencial eléctrico no está definido para tal campo. En cambio, la fórmula proviene del cambio en la energía del campo magnético dentro del inductor .

¿Qué causa confusión?
Considere un solenoide. Supongamos que hay corriente fluyendo a través de él.
Aplicar la ecuación de Maxwell-Faraday en una forma integral: $$ \ oint {\ vec Ed \ vec l = - {\ partial \ over {\ partial t}} \ int \! \! \! \ int {\ vec Bd \ vec s}} $$ $$ \ int \! \! \! \ int {\ vec Bd \ vec s} = \ Phi = L {{dI} \ over {dt}} $$ $$ \ oint {\ vec Ed \ vec l = - L {{dI} \ over {dt}}} $$

Ahora, desde $$ \ oint {\ vec Ed \ vec l} = {V_ {inicio}} - {V_ {final}} \ equiv \ Delta V \: \ :( 1), $$ el potencial ( tensión) la diferencia entre el comienzo (donde fluye la corriente) y el final del inductor (donde fluye la corriente) es $$ \ Delta V = - L {{dI} \ sobre {dt}}. $$

No es cierto. ¿Por qué?
Mire los campos eléctricos y magnéticos dentro del solenoide.
fuente de imagen

¿Qué pasa con las líneas de campo eléctrico?
Son circulares. El campo eléctrico producido al cambiar el campo magnético dentro del solenoide es un ejemplo de un llamado campo no conservador ( enlace , ecuación 372), porque la integral de línea alrededor de un bucle cerrado no es cero (\ $ \ oint {\ vec Ed \ vec l = - L {{dI} \ sobre {dt}}} \ ne 0 \ $). Potencial eléctrico no se puede definir para un campo eléctrico no conservador como se hace en la fórmula (1). Significa que la fórmula \ $ \ Delta V = - L {{dI} \ sobre {dt}} \ $ es incorrecta.

Derivación correcta y fórmula correcta
Energía del campo magnético almacenada en el inductor. $$ W = {1 \ sobre 2} L {I ^ 2} $$ Cambio en la energía del campo magnético por unidad de tiempo. $$ {{dW} \ over {dt}} = LI {{dI} \ over {dt}} \: \ :( 2) $$ Supongamos que la corriente comenzó a aumentar. Significa que la energía del inductor aumenta (\ $ {{dW} \ sobre {dt}} = LI {{dI} \ sobre {dt}} > 0 \ $), es decir, el inductor consume energía del sistema eléctrico (aumentando la energía de su campo magnético).
Supongamos, para modelo de elementos agrupados , uno quiere reemplazar un inductor con una fuente de poder .

La cantidad de energía consumida por tal aumento de potencia por unidad de tiempo viene dada por $$ {{dW} \ over {dt}} = I {V_L} \: \ :( 3) $$ $$ {V_L} \ equiv {V_ +} - {V_ -} = {V_A} - {V_B} \: \ :( 4) $$

Observe la dirección de la corriente en la imagen de arriba y la polaridad de la fuente. La corriente fluye hacia el terminal positivo , lo que significa que la fuente de energía consume energía (no los suministros).

Ahora combinando las fórmulas (2), (3) y (4) obtienes la fórmula correcta

$$ {V_L} = L {{dI} \ over {dt}} $$

La respuesta simple es que la tensión inducida a través del inductor como resultado del cambio dI / dt de la corriente DEBE SER opuesta a la tensión aplicada por la fuente de corriente. Si este no fuera el caso, se crearía una condición de voltaje fuera de control. Sabemos por simple observación que este no es el caso. Si fuera el caso, podríamos simplemente colocar un inductor en serie con una fuente de voltaje y obtener un aumento en el voltaje de suministro. Esto claramente no es lo que sucede.

Se puede pensar en términos de voltaje "caída". En los circuitos simples que usan solo componentes pasivos, todos los componentes en un solo circuito siempre bajarán el voltaje mientras se alimenta desde una fuente de energía (es decir, corriente o voltaje). Las caídas de tensión alrededor del bucle igualarán la tensión de alimentación en cada instante en el tiempo. De modo que, todos los componentes del bucle tendrán una caída de voltaje (generalmente expresada como un voltaje negativo) a través de ellos.

Cuando se elimina la tensión de alimentación, es una situación diferente. El voltaje del inductor se invertirá porque el factor dI / dt se está moviendo en la dirección opuesta, o polaridad.