Promediando las formas de onda del inductor

La notación es bastante confusa, pero después de estudiar las diapositivas, mi interpretación es:

d es la fracción del tiempo "encendido" durante el ciclo. d' es la fracción de tiempo de apagado durante el ciclo. Con un promedio del ciclo, V _L será aproximadamente igual a la tensión de entrada V _G para la fracción d del tiempo y será aproximadamente igual a la tensión de salida V para la fracción d' de la hora. Por lo tanto, el voltaje promedio será d * V _G + d '* V.

Dado que todo es una función del tiempo (es de esperar que cambie lentamente), V _G y V se reemplazan por promedios a lo largo del ciclo. Y d y d' se reemplazan por d(t) y d'(t) . (Así es como el modelo conserva los componentes de baja frecuencia y elimina los componentes de alta frecuencia). Esto le da el lado derecho de la ecuación que está viendo. Debido a que estos están cambiando muy ligeramente a lo largo de un ciclo, no es una igualdad exacta sino una igualdad aproximada, por lo que se usa el símbolo ≈.

Tenga en cuenta que en las integrales, d se usa para su significado diferencial, mientras que en las otras ecuaciones, d indica la fracción PWM, lo que hace que las cosas sean más difíciles de entender. Y d' no es el derivado de d sino 1-d .

Edite para incluir algo de la discusión del comentario:

Considere un ejemplo de la vida real, como una fuente de alimentación en la que la tensión de entrada Vg (t) es una fluctuación de 170V + 60 Hz + una ondulación de conmutación de 30 kHz. Puede simplificar esto haciendo que Vg sea constante a 170 V (que es lo que hace el capítulo 2). O puede hacer una simplificación más realista promediando la ondulación y obteniendo una ondulación Vg (t) = 170V + 60 Hz (que es lo que hace el capítulo 7).

Una parte complicada es que al aproximar la integral en la pregunta original, se asume que Vg (t) es aproximadamente constante durante el período de tiempo de conmutación. Pero después de ese punto en el análisis, tratas los promedios móviles como funciones de t, no de constantes.

¿Qué tal esto?

Observe que hay una ligera variación en la notación del resultado.

Edite para aclarar y más puntos:

De las ecuaciones anteriores obtenemos:

\ begin {equation} \ < v_ {L} (t) > _ {T_ {s}} = < v_ {g} (t) > _ {T_ {s}} + < v (t) > _ {T_ {s}} \ end {ecuación}

Esta ecuación implica que los contenidos son continuos durante todo el período. Ahora todos están de acuerdo en esto, ¿verdad? Continuamos la ecuación y obtenemos:

\ begin {equation} \ < v_ {g} (t) > _ {T_ {s}} = d (t) < v_ {g} (t) > _ {dT_ {s}} + d '(t) < v_ {g} (t) > _ {d'T_ {s}} \ end {ecuación}

\ begin {equation} \ < v (t) > _ {T_ {s}} = d (t) < v (t) > _ {dT_ {s}} + d '(t) < v (t) > _ {d'T_ {s}} \ end {ecuación}

pero (como se puede ver en el gráfico) asumimos esto:

\ begin {equation} \ v_ {g} (t) = 0 \ (d < t < T_ {s}) \\ \ v (t) = 0 \ (0 < t < d) \ end {ecuación}

Por lo tanto,

\ begin {equation} \ < v_ {g} (t) > _ {T_ {s}} = d (t) < v_ {g} (t) > _ {dT_ {s}} \ end {ecuación}

\ begin {equation} \ < v (t) > _ {T_ {s}} = d '(t) < v (t) > _ {d'T_ {s}} \ end {ecuación}

Esto tiene sentido porque:

\ begin {equation} \ \ frac {d (t)} {T_ {s}} < 1 \ end {ecuación}

\ begin {equation} \ \ frac {d '(t)} {T_ {s}} < 1 \ end {ecuación}

El promedio de esas señales tomadas durante un tiempo más largo dentro de Ts bajaría porque son cero. El promedio máximo se produce dentro de las zonas que no son cero.

Por lo tanto, lo que finalmente obtenemos es:

\ begin {equation} \ < v_ {L} (t) > _ {T_ {s}} = d (t) < v_ {g} (t) > _ {dT_ {s}} + d '(t) < v (t) > _ {d'T_ {s}} \ end {ecuación}

¿Cuál es no el resultado encontrado en las diapositivas pero no estoy seguro de dónde cometí un error en las matemáticas ... Tal vez las diapositivas tengan un pequeño error en la notación? (Sucede)

Prefiero analizar utilizando la función de almacenamiento de energía E = 1 / 2LI ^ 2 donde V1 * dt1 = V2 * dt2 [voltio-segundo] en modo continuo.

Tal vez el el libro lo explica mejor ,

También me costó mucho seguir su notación también.

Se está enfocando en las matemáticas en lugar de darse cuenta de por qué las matemáticas deben funcionar.

Para cualquier conmutador que funcione en modo continuo, el área del ciclo de ENCENDIDO debe ser igual al ciclo de APAGADO. El área del rectángulo amarillo debe ser igual al rectángulo naranja para que el conmutador esté en modo de estado estable.

Duranteeltiempodeencendido,lacorrienteprovienedelafuente,peroduranteeltiempodeapagado,lacorrienteprovienedelinductorquedesvíaeldiodo.\$I_{MAX}\$y\$I_{MIN}\$debencumpliroloscambiosdevoltajedelcapacitor.Esporesoquelosconmutadoresrequierenunacorrientemínima.

Wikipedia - Convertidor Buck

Desde esa imagen, es importante notar que < v_g (t) > Es la línea punteada no la que tiene una pendiente. Lo que está haciendo es calcular el promedio del voltaje del inductor en un ciclo de conmutación. Entonces, aunque los promedios cambian en el tiempo, para un período de tiempo específico, el promedio anotado por < v_g (t) > es constante porque está definido de esa manera.

En otras palabras, has arruinado las notaciones. En la integral que hizo usted mismo al escribir, no debería haber usado los promedios de los ciclos de cambio excesivo < v_g (tau) > y < v (tau) > pero simplemente v_g (tau) y v (tau). Esto se debe a que aún no conoce los promedios para ese período de tiempo, pero solo los está calculando. Se definen para ser la respuesta de esas integrales de tiempo. < v_g (t) > para el tiempo y < v (t) > para el tiempo libre.

También entonces el interal derivado por usted solo funciona si se calcula desde el principio del ciclo de conmutación, pero la ecuación que está en el lado izquierdo funciona siempre, pero por supuesto que lo sabía y lo calculó desde el comienzo del ciclo de swithing para conveniencia.

Definiendo:

$$ \ begin {align} d (\ tau) & = 1 \ text {for} t \ leq \ tau \ leq t + dT_z \\ & = 0 \ text {for} t + dT_s < \ tau \ leq t + T_s \ end {align} $$

y

$$ \ begin {align} d '(\ tau) & = 0 \ text {for} t \ leq \ tau \ leq t + dT_z \\ & = 1 \ text {for} t + dT_s < \ tau \ leq t + T_s \ end {align} $$

entonces

$$ \ begin {align} \ left < v_L (t) \ right > _ {T_s} & = \ frac {1} {T_s} \ int_t ^ {t + T_s} v_L (\ tau) d \ tau = \\ & = \ frac {1} {T_s} \ left [1 \ times \ int_t ^ {t + dT_s} v_g (\ tau) d \ tau +0 \ times \ int_ {t + dT_s} ^ {t + T_s} v_g (\ tau) d \ tau + \\ + 0 \ times \ int_t ^ {t + dT_s} v (\ tau) d \ tau +1 \ times \ int_ {t + dT_s} ^ {t + T_s} v (\ tau) d \ tau \ right] \ end {align} $$ Aplicando lo inverso de la propiedad distributiva y sabiendo que $$ \ int_t ^ {t + dT_s} x (\ tau) d \ tau + \ int_ {t + dT_s} ^ {t + T_s} x (\ tau) d \ tau = \ int_t ^ {t + T_s} x (\ tau) d \ tau $$ entonces, $$ \ begin {align} \ left < v_L (t) \ right > _ {T_s} & = \ frac {1} {T_s} \ left [d (\ tau) \ times \ int_t ^ {t + T_s} v_g (\ tau) d \ tau + d '(\ tau) \ int_t ^ {t + T_s} v (\ tau) d \ tau \ right] \\ & = d (\ tau) \ times \ frac {1} {T_s} \ int_t ^ {t + T_s} v_g (\ tau) d \ tau + d '(\ tau) \ times \ frac {1} {T_s } \ int_t ^ {t + T_s} v (\ tau) d \ tau \\ & = d (\ tau) \ times \ left < v_g (t) \ right > _ {T_s} + d '(\ tau) \ times \ left < v (t) \ right > _ {T_s} \ end {align} $$ obteniendo así el resultado esperado.