¿Resistencia equivalente de un conjunto de n resistencias?

Probemos un enfoque muy simple.

La colección de resistencias tendrá una resistencia de valor máximo \ $ R_ {max} \ $, y una resistencia de valor mínimo \ $ R_ {min} \ $. Por definición $$ R_ {min} < = R_ {max} $$ la igualdad es verdadera si todas las resistencias son iguales, de lo contrario la desigualdad es verdadera

La conexión en serie contendrá \ $ R_ {max} \ $, más al menos otra resistencia en serie, lo que aumentará su resistencia, por lo que $$ R_s > R_ {max} $$

La conexión paralela contendrá \ $ R_ {min} \ $, más al menos otra resistencia paralela que disminuirá su resistencia, por lo que $$ R_p < R_ {min} $$

como $$ R_p < R_ {min} < = R_ {max} < R_s $$ por lo tanto $$ R_p < R_s $$

Notas

(1) Suponemos que todas las resistencias son no negativas. Esto es cierto si todos son pasivos. Hay redes activas que pueden mostrar una resistencia negativa, pero no son relevantes para esta pregunta.

(2) La resistencia es voltaje / corriente. La resistencia total de cualquiera de las dos resistencias en serie tendrá una resistencia mayor que cualquiera de los componentes. La resistencia total tendrá un voltaje igual a la suma de eso sobre cada componente, con todas las corrientes iguales.

(3) La resistencia total de cualquiera de las dos resistencias en paralelo tendrá una resistencia menor que cualquiera de los componentes. La resistencia total tendrá una corriente igual a la suma de eso a través de cada componente, con todos los voltajes iguales.

Veamos si esto funciona.

Comience con \ $ n = 2 \ $:

$$ R_s = R_1 + R_2 \\ R_p = \ frac {R_1R_2} {R_1 + R_2} \\ \ text {Entonces:} \\ \ frac {R_1R_2} {R_1 + R_2} \ stackrel {?} {<} R_1 + R_2 \\ R_1R_2 \ stackrel {?} {<} (R_1 + R_2) ^ 2 $$ La última fila se puede derivar de la anterior si \ $ R_1 + R_2 > 0 \ $ y es cierto si ambas resistencias también son positivas por separado, lo cual es algo correcto para pedir una resistencia. \ $ n = 2 \ 4 es nuestro caso base.

Ahora ... inducción .

Hipótesis : \ $ R_p [n] < R_s [n] \ $

Tesis : \ $ R_p [n + 1] < R_s [n + 1] \ $

Intentamos demostrar que la secuencia \ $ R_p [n] \ $ está disminuyendo, mientras que \ $ R_s [n] \ $ está aumentando.

Serie de resistencia: $$ R_s [n + 1] = R_s [n] + R_ {n + 1} > R_s [n] \ text {if} R_ {n + 1} > 0 \\ R_s [n + 1] > R_s [n] \ textit {q.e.d.} $$

Resistencia paralela: $$ R_p [n + 1] = \ frac {R_p [n] R_ {n + 1}} {R_p [n] + R_ {n + 1}} \ stackrel {?} {<} R_p [n] \\ R_p [n] R_ {n + 1} \ stackrel {?} {<} R_p [n] ^ 2 + R_p [n] R_ {n + 1} \\ R_p [n] ^ 2 > 0 \ text {que es verdadero, de modo que} R_p [n + 1] < R_p [n] \ textit {q.e.d.} $$

Finalmente encadenamos las cosas:

$$ R_p [n + 1] < R_p [n] < R_s [n] < R_s [n + 1] $$

Funcionó después de todo.

Es un resultado puramente matemático.

Si nos fijamos en los medios aritméticos y armónicos del conjunto de valores de resistencia: $$ AM (R_1, \ cdots, R_n) = \ frac {1} {n} (R_1 + \ cdots + R_n) \\ HM (R_1, \ cdots, R_n) = \ frac {n} {\ frac {1} {R_1} + \ cdots + \ frac {1} {R_n}} $$

Podemos observar que \ $ R_s \ $ es \ $ n \ $ veces la media aritmética \ $ AM (R_1, \ cdots, R_n) \ $ de las resistencias, mientras que \ $ R_p \ $ es \ $ 1 / n \ $ veces la media armónica \ $ HM (R_1, \ cdots, R_n) \ $ de las resistencias.

Los pitagóricos resolvieron que \ $ AM \ geq HM \ $ si los valores en el conjunto son positivos (como suelen ser las resistencias). Entonces, si \ $ n \ geq 2 \ $ (al menos dos resistencias), entonces:

$$ R_p = \ frac {1} {n} HM (R_1, \ cdots, R_n) < HM (R_1, \ cdots, R_n) < AM (R_1, \ cdots, R_n) < n AM (R_1, \ cdots, R_n) = R_s $$

Por lo tanto, \ $ R_p < R_s \ $ siempre para cualquier \ $ n \ geq 2 \ $ y un valor positivo \ $ R_1, \ cdots, R_n \ $.

Creo que hay una forma más sencilla de mostrar esto que las respuestas existentes.

Cuando se piensa en resistencias en paralelo, a menudo es más simple pensar en conductancia que en resistencia. En términos de conductancia, simplemente podemos escribir:

$$ G_p = G_1 + G_2 + \ dots $$

Dado que todos estos G son números positivos, sabemos que \ $ G_p \ $ es mayor que cualquiera de los \ $ G_n \ $ 'individuales.

Por lo tanto, sabemos (aún teniendo en cuenta que todos los valores son positivos) que \ $ R_p = 1 / G_p \ $ es menor que cualquiera de las \ $ R_n \ $ 's.

Dado que \ $ R_p \ $ es menor que cualquier valor de resistencia individual, también debe ser menor que la combinación en serie (suma) de todos los valores de resistencia individual.

Esto se ha respondido bastante bien, pero me gusta jugar con estas cosas, la respuesta mínima / máxima es mi favorita, sin embargo.

Así que aquí hay una prueba innecesariamente incómoda usando sumas. $$ R_s = \ sum_ {1} ^ {n} R_n \\ R_p = \ frac {1} {\ sum_ {1} ^ {n} \ frac {1} {R_n}} $$ Multiplicando la parte superior e inferior de la fracción en Rp por Rs: $$ R_p = \ frac {R_s} {R_s \ sum_ {1} ^ {n} \ frac {1} {R_n}}  = \ frac {R_s} {\ sum_ {1} ^ {n} \ frac {\ sum_ {1} ^ {n} R_n} {R_n}} $$ Ahora que la suma interna siempre contiene un término que es igual a su divisor, de modo que se puede dividir y simplificar a 1: $$ R_p = \ frac {R_s} {\ sum_ {m = 1} ^ {n} \ frac {R_m} {R_m} + \ frac {\ sum_ {n = 1} ^ {m-1} R_n + \ sum_ {n = m + 1} ^ {n} R_n} {R_m}} = \ frac {R_s} {n + \ sum_ {m = 1} ^ {n} \ frac {\ sum_ {n = 1} ^ {m-1 } R_n + \ sum_ {n = m + 1} ^ {n} R_n} {R_m}} \\ R_p = \ frac {R_s} {> 1} $$ Ahora el divisor contiene n, que es mayor que uno, y como ninguna otra parte puede ser negativa, el denominador como un todo es mayor que uno, por lo tanto, Rp será más pequeño que Rs.

Si asumimos que todos \ $ R_1, R_2, \ dots, R_n \ $ tienen el mismo valor \ $ R \ $, obtienes la siguiente conectividad:

\ $ R_s = \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n R_i = n \ cdot R \ $ (1)

\ $ R_p = \ frac {1} {\ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ frac {1} {R_i}} = \ frac {1} {n \ cdot \ frac {1} {R }} = \ frac {1} {n} \ cdot R \ $ (2)

Resolver (1) a R = > \ $ R = \ frac {R_s} {n} \ $ plug in (2) = > \ $ R_p = \ frac {1} {n} \ cdot \ frac {R_s} {n} = \ frac {1} {n ^ 2} \ cdot R_s \ $