Sabemos que la impedancia, Z, es compleja.
Me han dicho que $$ V = IZ $$, pero que se reorganiza a $$ Z = \ frac {V} I $$
Pero tanto el voltaje como la corriente son números reales, entonces, ¿cómo puede un número real dividido por otro número real dar un número complejo? ¿Qué he hecho mal?
Complejo \ $ Z \ $ tiene un significado solo para corrientes / voltajes alternos, por lo que su suposición de que \ $ V \ $ y \ $ I \ $ son reales es incorrecto. Pueden ser representados como complejos también. O puede trabajar con valores efectivos, que son reales, pero entonces también tendrá que tomar un valor absoluto de \ $ Z \ $.
UPD: Puede encontrar más información sobre la representación de cantidades eléctricas en un complejo en esta buena conferencia
Complejo no significa sobrenatural .
Cuando dices que Z es complejo. Eso significa que habrá un cambio de fase entre los componentes V e I. Las notaciones complejas ayudan a representar esa relación de fase entre la V y I (simplemente llamado cambio de fase) de una manera comprensible / manejable.
Para una impedancia puramente óhmica (representada con un número real). La V y yo permanecemos en fase .
Cuando uno aprende sobre los circuitos, se encuentra con dos versiones de la ley de Ohm. El primero es \ $ V = IR \ $, que solo se aplica a resistencias consideradas aisladamente. Si utiliza técnicas básicas de análisis de circuitos en un circuito puramente resistivo, la ecuación que obtenga será básicamente de form \ $ \ mathcal {E} - IR = 0 \ $. Sin embargo, cuando introduce condensadores, inductores y fuentes de voltaje de CA, el análisis del circuito comienza a darle las ecuaciones diferenciales . Estas ecuaciones se pueden expresar como EDO no homogéneas de segundo orden para las actuales, en la forma general
$$ L \ frac {\ mathrm {d} ^ 2 I} {\ mathrm {d} t ^ 2} + R \ frac {\ mathrm {d} I} {\ mathrm {d} t} + \ frac {I} {C} = \ mathcal {E} \ cos (\ omega t) \ tag {1} $$
En esta ecuación, todas las cantidades son reales. Pero una técnica común utilizada para resolver estas ecuaciones diferenciales es considerar una ecuación relacionada con variables complejas,
$$ L \ frac {\ mathrm {d} ^ 2 \ tilde I} {\ mathrm {d} t ^ 2} + R \ frac {\ mathrm {d} \ tilde I} {\ mathrm {d} t} + \ frac {\ tilde I} {C} = \ mathcal {E} e ^ {i \ omega t} \ tag {2} $$
Si define \ $ \ tilde I (t) \ $ tal que \ $ I (t) = \ operatorname {Re} \ tilde {I} (t) \ $, entonces notará esa ecuación (1 ) es solo la parte real de la ecuación (2). Pero la ecuación (2) es más fácil de resolver, porque las funciones exponenciales son más fáciles de trabajar que los senos y los cosenos. Entonces resolvemos la ecuación (1) resolviendo la ecuación (2) y luego tomando la parte real.
De todos modos, puede resolver la ecuación (2) para \ $ \ tilde {I} (t) \ $, y puede enchufarla
$$ \ begin {align} \ tilde {V} _C & = \ frac {1} {C} \ int \ tilde {I} \, \ mathrm {d} t & \ tilde {V} _R & = \ tilde {I} R & \ tilde {V} _L & = L \ frac {\ mathrm {d} \ tilde {I}} {\ mathrm {d} t} \ tag {3} \ end {align} $$
para calcular las cantidades \ $ \ tilde {V} _ {C, R, L} \ $ para cualquier capacitor, resistencia o inductor en el circuito. Tenga en cuenta que las partes reales de las ecuaciones (3) son las leyes de voltaje habituales para los elementos del circuito, por lo que puede justificar que las \ $ \ tilde {V} \ $ 's sean "voltajes complejos". Nuevamente, obtienes la solución real al resolver las ecuaciones complejas y luego tomar la parte real al final.
Ahora, algo interesante acerca de las funciones exponenciales es que
$$ \ begin {align} \ int e ^ {i \ omega t} \, \ mathrm {d} t & = \ frac {1} {i \ omega} e ^ {i \ omega t} & \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} e ^ {i \ omega t} & = i \ omega e ^ {i \ omega t} \ end {align} $$
entonces, suponiendo \ $ \ tilde {I} \ $ es un exponencial de esta forma, puede expresar las ecuaciones (3) como
$$ \ begin {align} \ tilde {V} _C & = \ underbrace {\ frac {1} {i \ omega C}} _ {Z_C} \ tilde {I} & \ tilde {V} _R & = \ underbrace {R} _ {Z_R} \ tilde {I} & \ tilde {V} _L & = \ underbrace {i \ omega L} _ {Z_L} \ tilde {I} \ end {align} $$
Este es el origen de la impedancia compleja: asumiendo que \ $ \ tilde {I} \ $ es un exponencial complejo cuya parte real representa la corriente real, entonces \ $ \ tilde {V} \ $ es un exponencial complejo cuyo real parte representa el voltaje real, y puede calcularlo como \ $ \ tilde {V} = Z \ tilde {I} \ $, donde \ $ Z \ $ es una cantidad compleja que depende del elemento del circuito en cuestión. Esto es útil porque, no solo es más fácil resolver las ecuaciones diferenciales relevantes mediante el uso de exponenciales complejos, sino que la exponencial también incorpora la dependencia del tiempo de una corriente o voltaje sinusoidal.
Esta respuesta es decididamente concisa para provocar una reacción de pensamiento. Por favor, no se ofenda.
La ley de Ohm es compleja. Y al mismo tiempo, es real para cualquier valor real. Esa es la misma razón por la que tenemos efectos como reflexiones en un cable para señales de alta frecuencia. Debido a que U = ZI debe se mantiene verdadero para un cable y U = RI debe se mantiene verdadero para cada punto en un cable (debido a la tensión y corriente instantáneas en un punto singular de un cable son valores reales ), el efecto neto es que para cualquier señal que no sea de CC, también debe tener una onda y una onda que regresa en una cable. Es solo debido a la Ley de Ohm que debemos estudiar el diseño de alta frecuencia y por qué debemos tratar ciertos cables como "líneas de transmisión".
Así que un número complejo tiene parte real e imaginaria. Entonces, cuando un número es real, véalo como la parte imaginaria es cero y al revés cuando tiene un número imaginario.
La impedancia Z se expresa como una cantidad compleja porque le ayuda a estudiar los efectos del cambio de frecuencia en el dominio de la frecuencia. La impedancia Z se convierte en cero solo cuando la corriente o los voltajes no están en la misma fase. Ejemplo, digamos que I = 5 cos (wt) y V - 10 cos (wt + 50) aquí, la corriente se retrasa la tensión por fase de 50 y, por lo tanto, la impedancia resulta ser un valor complejo con partes reales e imaginarias que no son cero. Diga que si el voltaje no tuviera el cambio de fase de +50, entonces Z se convertiría en solo 1/2 ohmios al igual que en el caso de los circuitos de CC cuando la corriente y el voltaje no varían con el tiempo y, por lo tanto, no hay un cambio de fase de tiempo para causar la impedancia de tener un componente imaginario distinto de cero.
Finalmente, los componentes imaginarios surgen en el caso solo cuando hay cambios de fase.
La cantidad compleja Z puede expresarse como una magnitud y un ángulo (o un módulo y argumento).
Z es igual a la magnitud de V dividida por la magnitud de I . Z es igual al cambio de fase entre el voltaje y la corriente. Lea otras preguntas en las etiquetas impedance