frecuencia de corte

Ignorando la fuente de voltaje extraña y mirando solo la red pasiva con la salida en la parte "superior" de la resistencia R, lo que tiene aquí es un filtro de paso alto.

A frecuencia cero, el condensador es un circuito abierto y el circuito es solo un divisor de voltaje resistivo con una ganancia de \ $ \ frac {1} {11} \ $.

En la frecuencia "infinita", el condensador es un cortocircuito y la salida es igual a la entrada (la ganancia es 1).

Entonces, este filtro tiene una frecuencia inferior a cero (donde la ganancia comienza a aumentar) y un polo de mayor frecuencia (donde la ganancia se nivela). En el dominio fasor, la función de transferencia es:

\ $ \ dfrac {V_ {out}} {V_ {in}} = \ dfrac {1} {11} \ dfrac {1 + j \ omega 10RC} {1 + j \ omega \ frac {10} { 11} RC} \ $

Entonces, el cero está en \ $ f_z = \ dfrac {1} {2 \ pi 10RC} \ $ y el polo está en \ $ f_p = \ dfrac {11} {2 \ pi 10RC} \ $

  

Disculpe, ¿puede decirme por qué fp y fz son evidentes por inspección?

Escribamos la función de transferencia en el dominio de frecuencia compleja (el dominio s o Laplace ):

\ $ \ dfrac {V_ {out}} {V_ {in}} = \ dfrac {1} {11} \ dfrac {1 + s10RC} {1 + s \ frac {10} {11} RC} \ $

Ahora, esta función de transferencia tiene un cero donde el numerador es igual a cero. Para encontrar dónde ocurre esto, resuelva el valor de s donde el denominador es igual a cero.

\ $ 1 + s10RC = 0 \ rightarrow s_z = \ dfrac {-1} {10RC} \ $

Por lo tanto, esta función de transferencia tiene un plano a la izquierda (LHP) cero.

La función de transferencia tiene un polo donde el denominador es igual a cero (la función de transferencia es "infinita" allí).

\ $ 1 + s \ frac {10} {11} RC = 0 \ rightarrow s_p = \ dfrac {-11} {10RC} \ $

Entonces, esta función de transferencia tiene un polo LHP.

Aquí es donde la terminología cero y polo provienen de. Entonces, ¿cómo puedo obtener de "inspección" el polo y la frecuencia cero de la función de transferencia original?

La frecuencia cero (polo) es donde las partes reales e imaginarias del numerador (denominador) son iguales. Como la parte real es 1, podemos ver, mediante inspección, la frecuencia en que la parte imaginaria es 1.

Para los filtros de orden superior, se debe expresar el numerador y el denominador como productos de términos como \ $ (1 + j \ dfrac {\ omega} {\ omega_1}) \ $ para leer las frecuencias de cero y polos como Lo he hecho aquí.

Este bastardo de aspecto inocente es, de hecho, una gran pregunta para una entrevista.

Primero probemos un enfoque intuitivo:

Sabemos que un RC paralelo es un filtro de paso bajo. Si se elimina R2 (la resistencia conectada a tierra), obtendrá la curva de paso alto de RC habitual (para una corriente). Significa que si conectas a tierra el otro extremo del circuito RC paralelo, obtendrás la corriente máxima a altas frecuencias.

Ahora puede pensar lo siguiente: "Ok, entonces el RC paralelo es un paso alto simple para la corriente, por lo tanto, si pongo una resistencia allí (R2), también obtendré un paso alto simple para el voltaje. ". El problema es que la tensión desarrollada a través de R2 ahora interfiere con la tensión a través del RC paralelo: cuanto más voltaje cae en R2, menor es la tensión en RC paralelo (tipo de realimentación negativa). Esta interacción es lo que hace que su predicción para una frecuencia de corte sea incorrecta.

Ahora es el momento de las ecuaciones:

Para conocer la respuesta actual necesitamos calcular la impedancia compleja de toda la red y derivar su parte real por magnitud. Al igualar el cuadrado de magnitud a 0.5, se puede encontrar una frecuencia de corte:

Intenté usar Wolfram para derivar una solución para \ $ \ omega \ $ en un caso general, pero falló. Luego traté de reducir el número de símbolos asumiendo que R1 = 10R2, y tuvo éxito. Sin embargo, la respuesta que obtuve parece sospechosamente no física (a menos que alguien pueda explicarme el significado de la frecuencia compleja). ¿Alguien puede encontrar el error?

NOTA 1: incluso si este enfoque funciona, y encontrará una frecuencia 3dB, es una pregunta qué tipo de archivador es este. En las frecuencias altas, el condensador se comporta corto, por lo tanto, el voltaje de salida será igual al voltaje de entrada. Conclusión: se está comportando de manera extraña filtro de paso alto.

NOTA2: el comportamiento de paso alto también puede derivarse de una ecuación general para la magnitud de la impedancia: sustituya el infinito por \ $ \ omega \ $ y obtendrá R2 como impedancia.

Creo que no entiendes lo que hace este circuito. No tiene una frecuencia de corte simple porque hay dos puntos en el espectro donde hay cambios importantes en la característica de ganancia.

En DC, la ganancia es 1/11 y esto se mantendrá en gran medida hasta que la impedancia de C comience a reducirse para que coincida (debido a la frecuencia creciente) la magnitud de la resistencia 10R. Aquí es donde estará el primer punto "3dB" y la ganancia para las frecuencias más altas comenzará a aumentar.

Continuará subiendo hasta que comience a nivelarse y el punto "3dB" reconocido para esto es cuando la impedancia de C ha caído para coincidir con R. Desde aquí, a medida que aumenta la frecuencia, la ganancia comienza a convertirse en unidad. >

Por lo tanto, hay dos fórmulas para los dos puntos separados en el espectro; uno depende de 10R y otro depende de R. Esos puntos se describen mediante la fórmula en su ecuación pero habrá dos ecuaciones; uno que contiene R y otro que contiene 10R. Si los valores de la resistencia están más próximos entre sí en valor (que la relación 10: 1 en su pregunta), los dos puntos de la curva comenzarán a fusionarse y no dudaría en resolver esto de manera perezosa con un simulador de circuito: -

Para calcular realmente la frecuencia de corte / rolloff / esquina de -3dB, no es suficiente calcular los polos y los ceros como en la respuesta aceptada. Tienes que hacer lo que Vasiliy comenzó a hacer, pero no terminó. Lo he hecho para una pregunta similar . Primero la función de transferencia para

(ignorarlosvaloresnuméricosallí)esundivisordevoltaje\$R_1||\frac{1}{sC}\$conlacaídasobre\$R_2\$comolamedidaso

$$ H (s) = \ frac {R_2} {R_2 + \ frac {1} {\ frac {1} {R_1} + sC}} = \ frac {R_2 + CR_1R_2s} {R_1 + R_2 + CR_1R_2s} $$

Si realmente haces estos \ $ R_2 = R \ $ y \ $ R_1 = 10R \ $ obtendrás la misma función de transferencia que en la respuesta de Alfred. Sin embargo, para calcular realmente la frecuencia de corte / esquina / corte de -3dB con precisión , primero debe calcular el cuadrado de la ganancia como producto de la función de transferencia con su conjugado [complejo], que aquí se presenta:

$$ (G (j \ omega)) ^ 2 = H (j \ omega) \ overline {H (j \ omega)} = \ frac {R_2 + j \ omega CR_1R_2} {R_1 + R_2 + j \ omega CR_1R_2} \ frac {R_2-j \ omega CR_1R_2} {R_1 + R_2-j \ omega CR_1R_2} = \\ = \ frac {R_2 ^ 2 + (CR_1R_2 \ omega) ^ 2} {(R_1 + R_2) ^ 2 + (CR_1R_2 \ omega) ^ 2} $$

Ahora equiparamos esta ganancia al cuadrado con 1/2 y resolviendo omega rendimientos:

$$ \ omega = \ frac {\ sqrt {R_1 ^ 2 + 2 R_2 R_1-R_2 ^ 2}} {C R_1 R_2} = \ frac {1} {C R_2} \ sqrt {2- \ Big \ frac {R_2} {R_1} -1 \ Big) ^ 2} $$

Tenga en cuenta que esta expresión es bastante similar a la solución para el filtro de paso alto con un inductor no ideal . Además, si \ $ R_1 \ $ es infinito (es decir, no existe), entonces obtienes el resultado clásico de un filtro de paso alto RC. Y finalmente, como observa correctamente @Andy aka, una noción de frecuencia de reducción no siempre está bien definida para este circuito / fórmula; más precisamente, la noción solo tiene sentido (y la solución anterior es real) cuando \ $ R_2 < (1+ \ sqrt {2}) R_1 \ $; esta condición se cumple realmente en el circuito a partir de la declaración del problema, sin embargo, si [dice] disminuye \ $ R_1 \ $ demasiado, entonces no hay ningún punto en que la ganancia caiga a -3dB. Aquí está la confirmación en la simulación de lo que sucede en el límite \ $ R_2 = (1 + \ sqrt {2}) R_1 \ approx 2.42 R_1 \ $):

Finalmente,tengaencuentaqueenlafórmuladefrecuenciadecaídade-3dB,lasresistenciasnoestánrealmenteenparaleloentérminosdelafórmulaenlaqueaparecen.DesdequeveoqueelmétododelatramadeBodesimple(polosyceros)siguerecibiendovotospositivos,valelapenacomparandolasdospredicciones.

Alaproximarlafrecuenciaderolloffconlafrecuenciadelpolo(loquedeberecordaressolounaaproximaciónengeneral),lapredicciónesquelafrecuenciade-3dBestásimplementeenelpolo,que(ignorandoelsignoLHP)es:

$$\omega_p=\frac{1}{C(R_1||R_2)}=\frac{1}{CR_2}\frac{R_1+R_2}{R_1}=\frac{1}{CR_2}\Big({1+\frac{R_2}{R_1}}\Big)$$

(Sisustituyeslosvaloresdelasresistencias,obtendráslamismafórmulaqueAlfred).

Sidenota\$R_2/R_1\$as\$x\$,veráquelaaproximacióndepolosparalafrecuenciade-3dB solo es bueno en la vecindad de \ $ x = 0 \ $ (es decir, cuando \ $ R_1 \ $ tiende a infinito). Para este problema, esencialmente estás aproximando \ $ \ sqrt {2- (x-1) ^ 2} \ $ con \ $ 1 + x \ $ cuando usas la frecuencia polar como la frecuencia de reducción de -3dB.