¿Existe una fórmula no recursiva para resistencias mixtas?

Tiene que ver con la proporción de oro que creo: -

o...

Para N = 1,

x = \ $ \ dfrac {13} {8} + \ dfrac {-1 ^ {2} \ cdot 3!} {3! \ cdot 1! \ cdot 4 ^ {5}} \ $ =

x = \ $ \ dfrac {13} {8} + \ dfrac {3!} {3! \ cdot 4 ^ {5}} \ $ = 1.6259765625

De todos modos, el enlace es aquí y no puedo dar fe de que sea perfecto.

Obtengo una serie que se parece a (suponiendo que hay R iguales)

1.) R (1 + 1/1)

2.) R (1 + 2/3)

3.) R (1 + 5/8)

4.) R (1 + 13/21)

5.) R (1 + 34/55)

Puedo escribir el resto de los términos ... pero no soy muy bueno para encontrar una solución de forma cerrada.

Edite Re: ratio, así que haga algunas secciones y verifíqueme. Dado el número N (i) = 1 + a / b, el siguiente número es,

N (i + 1) = 1+ (a + b) / (2a + b)

y N (1) = 1 + 1/1 .. (a = 1, b = 1)

Eso sigue siendo una relación recursiva.

Estoy cada vez más seguro de que no es posible dar una fórmula no recursiva para esto. La respuesta de Diverger muestra una manera de representar la resistencia equivalente como una fracción continua:

  

$$ R_ {T_n} = R + \ frac {\ vdots} {\ frac {1} {R} + \ frac {1} {R + \ frac {1} {\ frac {1} {R} + \ frac {1} {R + \ frac {1} {\ frac {1} {R} + \ frac {1} {R}}}}}} $$

Sin embargo, para hacer de esto una función general, que funcione para cualquier \ $ n \ $, sin puntos, necesitaríamos una generalizada fracción continua , como esta:

  

$$ A_n = b_n A_ {n-1} + a_n A_ {n-2}, \ qquad B_n = b_n B_ {n-1} + a_n B_ {n-2} $$

Sin embargo, esto usa la recursión (\ $ A_n \ $ se define en términos de \ $ A_ {n-1} \ $ y \ $ A_ {n-2} \ $, y analógicamente lo mismo con \ $ B_n \ $), y no querías recursión.

La respuesta de Andy usando la ración dorada parece funcionar solo cuando R = 1. De lo contrario, la fórmula no se mantiene.

Las respuestas anteriores son todas incorrectas ya que la respuesta es 0 Ω de la inspección. Tenga en cuenta que A y B están conectados directamente . Todas las resistencias son solo pistas falsas para ver si te enamoras de hacer todos los cálculos y luego, de todos modos, obtienes una respuesta incorrecta. Parece que funcionó.

Si etiqueta sus resistencias de derecha a izquierda como \ $ r_1, r_2, ..., r_n \ $ como en el siguiente circuito:

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

entonces la resistencia equivalente \ $ R_n \ $ para \ $ n \ $ resistores es

$$ \ begin {eqnarray *} R_n & = & r_n + \ frac {r_nR_ {n-1}} {r_n + R_ {n-1}} \\ &erio; = & r_n (1 + \ frac {R_ {n-1}} {r_n + R_ {n-1}}) \ end {eqnarray *} $$

pero no parece muy fácil de resolver esto en términos de \ $ n \ $ y los valores de \ $ r_n \ $. Podrías escribir fácilmente un programa / hoja de cálculo / etc para hacer estos cálculos, pero tendrías que probar un lugar un poco más pesado en matemáticas para encontrar una respuesta de forma cerrada.

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

Inicia la ecuación de Thévenin en el extremo izquierdo. Cada etapa contiene una resistencia en serie y una resistencia desplegable. La resistencia de la serie estará en serie con la resistencia equivalente de la etapa anterior.

$$ R_ {T0} = 0 \\ R_ {T1} = (R_ {T0} + R_ {1}) || R_ {2} \\ R_ {T2} = (R_ {T1} + R_ {3}) || R_ {4} \\ R_ {T3} = (R_ {T2} + R_ {5}) || R_ {6} \\ ... \\ R_ {Tn} = (R_ {Tn-1} + R_ {2n-1}) || R_ {2n} $$

Si todos \ $ R \ $ s son iguales. Entonces

$$ R_ {Tn} = (R_ {Tn-1} + R) || R $$

Usa Python u otros idiomas para hacer que una pequeña aplicación pueda calcular esto, pero es una "fórmula recursiva".

Pensemos más. Si amplía la ecuación anterior, debería ser como una " Fracción continua ".

Nota: La fracción continua no significa "infinito", si su recuento de resistencia es fijo, entonces la expresión será finita.

$$ R_ {Tn} = \ frac {\ vdots} {\ frac {1} {\ frac {1} {\ frac {1} {\ frac {1} {\ frac {1} {R} + \ frac {1} {R}} + R} + \ frac {1} {R}} + R} + \ frac {1} {R}} + R $$

Por enlace , la fracción continua no es una "expresión de forma cerrada" sino una "expresión analítica".