Circuito LC con diodo en serie (encontrando el promedio lineal)

  

Tengo el siguiente circuito LC de la serie :

     

    

Encuentreel(lineal) promedio del actual a través de diode . Lo ideal es un componente ideal. Las condiciones iniciales en el circuito son iguales a cero.

MI TRABAJO

Primero corté el diodo (así que imagino que el diodo ideal no está en el circuito). Utilizando la ley de Faraday puedo escribir:

$$ \ text {V} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right) + \ text {V} _ {\ space \ text {C}} \ left (t \ right) = - \ text {L} \ cdot \ text {I} _ {\ space \ text {in}} '\ left (t \ right) \ tag1 $$

Ahora, también sé que \ $ \ text {V} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right) = \ sin \ left (2 \ pi \ cdot t \ right) \ $ , \ $ \ text {I} _ {\ space \ text {C}} \ left (t \ right) = \ text {V} _ {\ space \ text {C}} '\ left (t \ right) \ cdot \ text {C} \ $ y \ $ \ text {I} _ {\ space \ text {C}} \ left (t \ right) = \ text {I} _ {\ space \ text {in}} \ izquierda (t \ derecha) \ $. Donde \ $ \ text {L} \ $ es el valor inductor (en Henry) y \ $ \ text {C} \ $ es el valor de capacitor (en Farad).

Por lo tanto, también puedo escribir:

$$ \ begin {cases} \ frac {\ text {d}} {\ text {d} t} \ left (\ sin \ left (2 \ pi \ cdot t \ right) \ right) + \ text {I} _ {\ space \ text { in}} \ left (t \ right) \ cdot \ frac {1} {\ text {C}} = - \ text {L} \ cdot \ text {I} _ {\ space \ text {in}} '' \ left (t \ right) \\ \\ \ text {I} _ {\ space \ text {in}} \ left (0 \ right) = 0 \\ \\ \ text {I} _ {\ space \ text {in}} '\ left (t \ right) = 0 \ end {cases} \ tag2 $$

Lo que da:

$$ \ text {I} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right) = \ frac {2 \ pi \ cdot \ text {C} \ cdot \ left (\ cos \ left (2 \ pi \ cdot t \ right) - \ cos \ left (\ frac {t} {\ sqrt {\ text {C} \ cdot \ text {L}}} \ right) \ right)} {4 \ pi ^ 2 \ cdot \ text {C} \ cdot \ text {L} -1} \ tag3 $$

Usando los valores dados:

$$ \ text {I} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right) = \ frac {6 \ pi \ cdot \ left (\ cos \ left (2 \ pi \ cdot t \ right) - \ cos \ left (\ frac {t} {\ sqrt {3}} \ right) \ right)} {12 \ pi ^ 2-1} \ tag4 $$

Función de trazado \ $ \ left (4 \ right) \ $, da:

(Usé Mathematica para hacer la trama)

  

Ahora pongo el diodo de nuevo en el circuito y cortará cada parte negativa de la corriente. Entonces, cada parte negativa de la corriente se convertirá en cero y solo las partes positivas de la corriente fluyen en el circuito.

Para encontrar el promedio (lineal) que necesito encontrar:

$$ \ overline {\ text {I}} _ {\ space \ text {D}} = \ overline {\ text {I}} _ {\ space \ text {in}} = \ lim _ {\ text {n} \ a \ infty} \ frac {1} {\ text {n}} \ int_0 ^ \ text {n} \ text {I} _ {\ space \ text {D}} \ left (t \ right) \ espacio \ texto {d} t \ tag5 $$

Donde \ $ \ text {I} _ {\ space \ text {D}} \ left (t \ right) \ $ es la entrada actual (\ $ \ text {I} _ {\ space \ text {en }} \ left (t \ right) \ $) con todas las partes negativas bloqueadas.

Ahora, traté de encontrar los valores para \ $ t \ $ cuando \ $ \ text {I} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right) \ $ es igual a cero:

$$ \ text {I} _ {\ space \ text {in}} \ left (t \ right) = \ frac {6 \ pi \ cdot \ left (\ cos \ left (2 \ pi \ cdot t \ derecha) - \ cos \ izquierda (\ frac {t} {\ sqrt {3}} \ derecha) \ derecha)} {12 \ pi ^ 2-1} = 0 \ espacio \ Longleftrightarrow \ espacio t = \ frac { 6 \ pi \ cdot \ text {k}} {\ sqrt {3} \ pm6 \ pi} \ tag6 $$

Donde \ $ \ text {k} \ in \ mathbb {Z} \ $

  

De ahora en adelante no sé cómo continuar.