¿Qué tan cerca del suelo está lo suficientemente cerca para un relé?

Primero, el voltaje del colector al emisor para un BJT será de aproximadamente 0.2V como mínimo en el modo de saturación. Su DMM estaba haciendo una lectura inexacta por alguna razón. Este límite se puede superar mediante el uso de un MOSFET, que simplemente proporcionará una resistencia pequeña (5ohms a 10s de miliohms) y, en consecuencia, una pequeña caída de voltaje.

Tampoco has publicado ninguna información sobre tu relevo. ¿Lo estás operando dentro de los voltajes especificados? Algunos relés funcionarán a 5 V y otros no. Si se hace referencia a tierra o no es gloriosamente irrelevante: solo proporcione la hoja de datos especificada de voltaje / corriente, y no se preocupe por su tierra.

Sin embargo, todo lo dicho, supongo que simplemente has hecho explotar tu transistor. La bobina en el relé tiene mucha inductancia y mucha corriente, y cambiarla puede generar picos de voltaje dañinos. Si está utilizando un relé de 5V, simplemente conecte un zener de 5.1V a la bobina (cátodo a 5V, ánodo al colector de su transistor). Esto debería ayudar a proteger su electrónica. Con el zener en su lugar, dale otra oportunidad. (Tenga en cuenta que existen métodos de protección más sofisticados si los necesita, pero siempre he encontrado un Zener suficiente para transistores razonablemente robustos con los relés de señal pequeña con los que trabajo. ¿Qué tamaño tiene el relé?).