Encontrar la respuesta de amplitud de un sistema LTI

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Se me pide que encuentre la respuesta de amplitud de un sistema LTI descrita por la ecuación de diferencia:

$$     y [n] - ay [n-1] = x [n] $$

Después de tomar la transformada de Fourier de ambos lados y algunas matemáticas, obtengo la respuesta de frecuencia:

$$     H (e ^ {jw}) = 1 / (1-ae ^ {- jw}) $$

¿Pero cómo obtengo la respuesta de amplitud de esto? Sé que la respuesta de amplitud es

$$ | H (e ^ {jw}) | $$

pero no estoy seguro de cómo "obtener la longitud" de mi respuesta de frecuencia. Tengo la sensación de que este es un simple problema matemático que no entiendo.

(Descargo de responsabilidad: esta es una pregunta sobre una final pasada que estoy usando para estudiar. Tengo la respuesta a la pregunta (y la publicaré si se necesitan pruebas), pero quiero entender el método)

    
pregunta n0pe

3 respuestas

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Aunque se encuentra en el dominio de frecuencia, aún debería poder obtener todos los parámetros como estaba en el dominio de tiempo. Son dominios diferentes pero ambos deberían representar la misma cosa. El dominio del tiempo representa las cosas en términos de amplitud con respecto al tiempo. El dominio de frecuencia representa las cosas en términos de amplitud Y FASE con respecto a los valores de frecuencia. Tenga en cuenta que debe tener tanto la amplitud como la fase en el dominio de la frecuencia, ya que en el dominio del tiempo la fase se puede representar en la misma gráfica mediante un cambio.

Una forma de representar estas cosas en el dominio de la frecuencia es lidiando con números complejos. Los números complejos se pueden ver como vectores en un espacio 2D que tienen una longitud (como dijiste) y un ángulo. La longitud representa la relación de salida / entrada y el ángulo representa el cambio de fase en comparación con la entrada.

Entonces, respondiendo a su pregunta, debe calcular la longitud H para encontrar su relación de salida / entrada. Para ayudarte, imagina que:

\ $ e ^ {jw} = cos (w) + jsin (w) \ $

En otras palabras, es un número complejo con siempre longitud de 1 y ángulo \ $ w \ $

Puedes resolver esto mediante dos métodos:

Método del vector:

imagina que el número 1 es \ $ Z = 1 + 0.i \ $ que es un vector a la derecha, con longitud 1 y ángulo \ $ 0 \ $.

Imagina que \ $ e ^ {jw} \ $ es un vector que mostré justo arriba

Ahora agrégalos. Luego divide los vectores 1 por el vector que hayas encontrado.

- Coordenadas artesanales:

representa todo en términos de \ $ Z = a + jb \ $ y también \ $ e ^ {jw} = cos (w) + jsin (w) \ $

e imagina que tienes:

\ $ \ large Z = \ frac {Z_1} {Z_2 + Z_3} \ $

y luego encuentra la longitud de Z por:

\ $ | Z | = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \ $

    
respondido por el Felipe_Ribas
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Si recuerdo correctamente, durante los exámenes solo usamos para combinar plantillas para dibujar la respuesta (aproximada) gráficamente. Cosas como "este término significa que la amplitud comienza a disminuir en -XX dB por octava a la frecuencia YY". Tal vez fue porque no es fácil / útil calcularlo simbólicamente.

Pero no es difícil calcular un solo valor de esa función. Solo necesitas saber números complejos. Creo que incluso puedes hacerlo gráficamente, solo ten en cuenta la fórmula de Euler . Agregar dos números es solo agregar dos vectores, multiplicar significa que agregas los ángulos (fase) y multiplicas las longitudes del vector (magnitud).

    
respondido por el maxy
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pero no estoy seguro de cómo "obtener la longitud" de mi respuesta de frecuencia.

La DTFT es continua y periódica.

Para la respuesta de amplitud, la "longitud" (en frecuencia) es \ $ 0 \ le \ omega \ lt \ frac {\ pi} {T} \ $ o, usando una frecuencia normalizada, \ $ 0 \ le \ Omega \ lt \ pi \ $

Por otra parte, si está preguntando cómo encontrar la amplitud, recuerde que:

$$ | Z | = \ sqrt {ZZ ^ *} $$

Por lo tanto,

$$ | H (e ^ {j \ omega}) | = \ sqrt {\ dfrac {1} {1 - ae ^ {- j \ omega}} \ dfrac {1} {1 - ae ^ {j \ omega}}} $$

    
respondido por el Alfred Centauri

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