Circuito RC simple (neurona): obtenga \ $ u (t) \ $ como una función del tiempo

En el documento al que hace referencia (4.1.1.1) se presupone una corriente constante: $$ I (t) = I_0 $$ Con esta sustitución, su problema se reduce a una ecuación diferencial "de primer orden": $$ \ tau_m \ frac {du} {dt} = - u (t) + RI_0 \ \ \ \ \ mbox {where} \ \ u (t ^ {(1)}) = 0. $$ Un método sería utilizar un factor integrador. Ponga la ecuación en la forma estándar: $$ \ frac {du} {dt} + \ frac {u (t)} {\ tau_m} = \ frac {RI_0} {\ tau_m} $$ El factor integrador es $$ exp \ Big \ {\ int \ frac {dt} {\ tau_m} \ Big \} = e ^ {t / \ tau_m} $$ Multiplica cada término por el factor integrador: $$ e ^ { t / \ tau_m} \ frac {du} {dt} + e ^ {t / \ tau_m} \ frac {u (t)} {\ tau_m} = e ^ {t / \ tau_m} \ frac {RI_0} {\ tau_m} $$ Tenga en cuenta que $$ e ^ {t / \ tau_m} \ frac {du} {dt} + e ^ {t / \ tau_m} \ frac {u (t)} {\ tau_m} = \ frac {d } {dt} \ Big [e ^ {t / \ tau_m} \ cdot u (t) \ Big] $$ Por lo tanto, la ecuación original se reduce a $$ \ frac {d} {dt} \ Big [e ^ { t / \ tau_m} \ cdot u (t) \ Big] = e ^ {t / \ tau_m} \ frac {RI_0} {\ tau_m} $$ $$ \ int \ frac {d} {dt} \ Big [e ^ {t / \ tau_m} \ cdot u (t) \ Big] \ dt = \ int e ^ {t / \ tau_m} \ frac {RI_0} {\ tau_m} \ dt $$ $$ e ^ {t / \ tau_m} \ cdot u (t) = RI_0 \ e ^ {t / \ tau_m} + C $$ Desde aquí, lo que queda es conectar la condición inicial dada para recuperar C, y un poco de álgebra para poner en la forma requerida. La técnica anterior se puede encontrar en la mayoría de los libros de texto iniciales sobre ecuaciones diferenciales ordinarias.