Un sistema físico está en representación del espacio de estado cuando tenemos un modelo matemático de este como un conjunto de variables de entrada, salida y estado relacionadas solo por ecuaciones diferenciales de primer orden.
El sistema
$$ m \ ddot {y} + b \ dot {y} + k_1y + k_2y ^ 3 = u $$ no lo es, ya que hay una segunda derivada. Pero, al introducir \ $ x_1 = \ dot {y} \ $, \ $ x_2 = y \ $,
$$ \ dot {\ mathbf {x}} = \ frac {d} {dt} \ begin {pmatrix} \ dot {y} \\ y \ end {pmatrix} =
\ begin {bmatrix} \ ddot {y} \\\ dot {y} \ end {bmatrix} =
\ left [\ matrix {\ frac {1} {m} (- b \ dot {y} - (k_1 + k_2 y ^ 2) y) \\\ dot {y}} \ right] + \ left [\ matrix {\ frac {u} {m} \\ 0} \ derecho] \\ =
\ left [\ matrix {- \ frac {b} {m} & - \ frac {k_1 + k_2y ^ 2} {m} \\ 1 & 0} \ right] \ left [\ matrix {\ dot {y} \\ y} \ right] + \ begin {bmatrix} \ frac {1} {m} \\ 0 \ end {bmatrix} u, $$
o
$$ \ dot {\ mathbf {x}} = \ mathbf {A} (\ mathbf {x}) \ mathbf {x} + \ mathbf {b} u $$
Observe que la matriz del sistema \ $ A \ $ no es constante, pero esta es una representación de espacio de estado.
Actualización 1: Linealización
Dado un sistema no lineal
$$ \ dot {\ mathbf {x}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {x}) + \ mathbf {b} u, $$
la idea de la linealización es trabajar fuera de un punto de ajuste actual \ $ \ mathbf {x} _0, \ $ para que
$$ \ mathbf {f} (\ mathbf {x} _0 + \ mathbf {d}) \ approx \ mathbf {f} (\ mathbf {x} _0) + J_ \ mathbf {f} (\ mathbf {x} _0) \ cdot \ mathbf {d}. $$
Aquí tenemos
$$ \ begin {eqnarray} f_1 (x_1, x_2) & = & \ frac {-bx_1 -k_1x_2 - k_2x_2 ^ 3} {m} \\ f_2 (x_1, x_2) & = & x_1 \ end {eqnarray} $$
para que la matriz jacobiana sea
$$ J_f (\ mathbf {x}) = \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial f_1} {\ partial x_1} & \ frac {\ parcial f_1} {\ parcial x_2} \\ \ frac {\ parcial f_2} {\ parcial x_1} & \ frac {\ partial f_2} {\ partial x_2} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} - \ frac {b} {m} & \ frac {-k_1 -3k_2x_2 ^ 2} {m} \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, $$
Observe que $$ \ dot {\ mathbf {x}} = \ frac {d} {dt} \ mathbf {x} = \ frac {d} {dt} (\ mathbf {x} _0 + \ mathbf {d }) = \ frac {d} {dt} \ mathbf {d} = \ dot {\ mathbf {d}}. $$
Asi que
$$ \ dot {\ mathbf {d}} = J_f (\ mathbf {x} _0) \ cdot \ mathbf {d} + \ mathbf {f} (\ mathbf {x} _0) + \ mathbf {b} u = \ mathbf {Anuncio} + \ mathbf {c} + \ mathbf {b} u, $$
Es un sistema lineal que podemos controlar normalmente, con
$$ \ mathbf {A} = J_F (\ mathbf {x} _0), $$ y
$$ \ mathbf {c} = \ mathbf {f} (\ mathbf {x} _0). $$
Actualización 2: Control Lyapunov
Parece que su problema es similar a un modelo de resorte no lineal. Por ejemplo, un sistema con un resorte más duro a menudo se modela
$$ F_s (x) = k (1 + a ^ 2y ^ 2) y $$
que corresponde a tu ecuación con \ $ k_1 = k, k_2 = ka ^ 2 \ $. Una forma de resolver el control no lineal es mediante la teoría de Lyapunov. Por ejemplo, supongamos que tenemos una señal de entrada deseada \ $ y_d \ $, y que queremos asegurarnos de que el error $$ e = y_d-y \ to 0 $$
Defina la función $$ r = \ dot {e} + \ alpha e, $$ que proporciona una noción ponderada de error tanto de la posición como de la velocidad, y defina la función de "energía" $$ V = \ frac {1} {2 } r ^ 2, $$ que es estrictamente positivo para todos \ $ \ dot {y} \ ne 0 \ $ y \ $ y \ ne 0 \ $. Mira el derivado del tiempo.
$$ \ dot {V} = r \; \ dot {r} = (\ dot {e} - \ alpha e) (\ ddot {e} + \ alpha \ dot {e}) = (\ dot {e} - \ alpha e) (\ ddot {y_d} - \ ddot {y} + \ alpha \ dot {e}) $$
El objetivo es asegurarse de que la energía esté disminuyendo exponencialmente, por lo tanto
$$ \ dot {V} = - \ kappa V, $$ así que queremos
$$ (\ dot {e} - \ alpha e) (\ ddot {y} _d - \ ddot {y} + \ alpha \ dot {e}) = - \ kappa \ frac {1} {2} (\ dot {e} - \ alpha e) ^ 2, $$ o
$$ (\ ddot {y} _d - \ ddot {y} + \ alpha \ dot {e}) = - \ frac {\ kappa} {2} (\ dot {e} - \ alpha e). $$
Ahora podemos insertar la dinámica del sistema para \ $ \ ddot {y} \ $ para obtener
$$ \ ddot {y} _d - \ frac {ub \ dot {y} -k_1y-k_2y ^ 3} {m} + \ alpha \ dot {e} = - \ frac {\ kappa} {2} (\ dot {e} - \ alpha e), $$
y resolviendo para \ $ u \ $, obtenemos la ecuación de control:
$$ ub \ dot {y} -k_1y-k_2y ^ 3 = m \ left (\ alpha \ dot {e} + \ ddot {y} _d + \ frac {\ kappa} {2} (\ dot {e} - \ alpha e) \ right) \\ u = b \ dot {y} + k_1y + k_2y ^ 3 + m \ alpha \ dot {e} + m \ ddot {y} _d + \ frac {m \ kappa} {2 } \ dot {e} - \ frac {m \ kappa \ alpha} {2} e, $$
Con parámetros ajustables.