¿Este sistema puede resolverse analíticamente?
Eso depende de cómo lo modeles .
En general, yo diría que probablemente podría modelar esto como un sistema con un estado muy limitado:
- posición de los dos imanes pequeños
La fuerza del resorte es un resultado directo de la posición, por lo que no es necesario considerarlo como un estado. Si los interruptores están encendidos o dependen de la posición de los imanes pequeños, también.
Luego, puedes configurar ecuaciones que describan las relaciones como
"La velocidad de m1 es la masa de m1 veces el tirón gravitacional más el tirón magnético, que depende del estado del switch2, es decir, si m2 está en la posición 'cerrada'".
La velocidad es la derivada de la posición en el tiempo, luego se obtiene un sistema de dos ecuaciones diferenciales . Sea \ $ p_i \ $ la posición de \ $ m_i \ $, simplemente ajuste la masa de los imanes a 1, de modo que la fuerza gravitacional se convierta en \ $ g \ $, deje que la "altura cerrada" sea 0, y usted ' d obtener algo como:
$$ \ begin {align} \ dot p_1 & = & -g & + \ mathbf 1 \ left \ {p_2 = 0 \ right \} \ cdot \ frac {V_1} {R_1} \\
\ punto p_2 & = & g & - \ mathbf 1 \ left \ {p_1 = 0 \ right \} \ cdot \ frac {V_2} {R_2}
\ end {align} $$
siendo \ $ \ mathbf 1 \ $ la función de indicador, es decir. 1 cuando la condición en {} es verdadera, 0 más.
Para que esto sea analíticamente más sencillo, debería continuar y reemplazar \ $ \ mathbf 1 \ $ con algo diferenciable; Probaría una función exponencial con exponente negativo que se aparta de 1 muy rápidamente (cuanto mayor es la const. \ $ \ Gamma \ $, más "no continuo" se verá desde lejos; tal vez encuentre una solución que pueda \ $ \ lim \ limits _ {\ gamma \ to \ infty} \ $):
$$ \ begin {align} \ dot p_1 & = & -g & + e ^ {- \ gamma {p_2} ^ {2}} \ cdot \ frac {V_1} {R_1} \\
\ punto p_2 & = & g & - e ^ {- \ gamma {p_1} ^ {2}} \ cdot \ frac {V_2} {R_2}
\ end {align} $$
Luego, encuentre una solución para \ $ p_1 \ $ e insértela en \ $ \ dot p_2 \ $ (o viceversa).
Hay varios trucos que te ayudan a aprender, que normalmente aprendes durante una de las conferencias de teoría de sistemas y control cuando estudias ingeniería.
Desde tu perfil, asumo que eres más algebraico (¿es eso una palabra?), pero eso es simplemente el análisis que necesitas para estar de pie :)
Ya que estamos apuntando directamente a un sistema que los dos esperamos comportarnos periódicamente, yo diría: tal vez aplicar la transformada de Fourier a las ecuaciones anteriores: tiene buenas propiedades w.r.t. derivaciones y funciones exponenciales, y terminará ofreciendo una solución discreta si el sistema en realidad es periódico.
