Conversión de ruido aditivo a ruido de fase

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RF Microelectronics by Razavi contiene el siguiente fragmento de código en la sección 8.7.3 sobre el análisis de ruido de fase en osciladores:

  

Escribimos \ $ x (t) = A \ cos (\ omega_0t) + n (t) \ $ donde \ $ n (t) \ $ denota el ruido aditivo de banda estrecha (voltaje o corriente). Se puede demostrar que el ruido de banda estrecha en la vecindad de \ $ \ omega_0 \ $ se puede expresar en términos de sus componentes en cuadratura:   $$ n (t) = n_I (t) \ cos (\ omega_0t) - n_Q (t) \ sin (\ omega_ot) $$   donde \ $ n_I (t) \ $ y \ $ n_Q (t) \ $ tienen el mismo espectro de \ $ n (t) \ $ pero se traducen hacia abajo por \ $ \ omega_0 \ $ (Fig. abajo) y se duplican en espectral densidad.   

Aunque no veo cómo se suman las matemáticas. Tomando la transformada de Fourier de \ $ n (t) \ $, $$ S_n (\ omega) = \ frac {1} {2} \ left [S_ {nI} (\ omega- \ omega_0) + S_ {nI} (\ omega + \ omega_0) \ right] + \ frac {j} {2} \ left [S_ {nQ} (\ omega + \ omega_0) - S_ {nQ} (\ omega- \ omega_0) \ right] $$ Si los componentes en cuadratura son los mismos que los mencionados, entonces \ $ S_ {nQ} (\ omega) = S_ {nI} (\ omega) \ $, $$ S_n (\ omega) = \ frac {1-j} {2} S_ {nI} (\ omega- \ omega_0) + \ frac {1 + j} {2} S_ {nI} (\ omega + \ omega_0) $$ ¿No muestra esto que la densidad espectral de \ $ S_ {nI} \ $ y \ $ S_ {nQ} \ $ es \ $ \ frac {2} {\ sqrt {2}} \ $ la de \ $ S_n \ $ en lugar de doble, para que la magnitud sea igual?

    
pregunta user21760

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A continuación, \ $ S_n \ $ denota el espectro de voltaje / corriente, como se considera en la pregunta original. Teniendo en cuenta el espectro alrededor de \ $ \ omega = \ omega_0 \ $,

$$ S_n (\ omega) = \ frac {1-j} {2} S_ {nI} (\ omega- \ omega_0) + \ frac {1 + j} {2} S_ {nI} (\ omega + \ omega_0) $$ $$ S_n (\ omega_0) = \ frac {1-j} {2} S_ {nI} (0) + \ frac {1 + j} {2} S_ {nI} (2 \ omega_0) $$ $$ S_n (\ omega_0) = \ frac {1-j} {2} S_ {nI} (0) $$

desde \ $ S_ {nI} (2 \ omega_0) \ approx0 \ $. La densidad espectral de potencia es \ $ \ lim_ {T \ rightarrow 0} \ frac {| S_T (\ omega) | ^ 2} {T} \ $, donde \ $ T \ $ es el período y \ $ S_T \ $ es el espectro de voltaje / corriente de una forma de onda periódica truncada en un período. Para las formas de onda de energía (es decir, para la densidad espectral de energía) no se requieren el límite y la división por el período. Para facilitar la notación utilizo este último: $$ | S_n (\ omega_0) | ^ 2 = \ left | \ frac {1-j} {2} S_ {nI} (0) \ right | ^ 2 $$ $$ | S_n (\ omega_0) | ^ 2 = \ frac {1} 2 {} \ left | S_ {nI} (0) \ right | ^ 2 $$

Esta derivación asume que \ $ S_n \ $ es el espectro de voltaje o corriente. Creo que la cifra corresponde a tener \ $ S_n \ $ denota el espectro de potencia en su lugar. Por lo tanto, está de acuerdo con la figura y la densidad espectral de potencia de los componentes en cuadratura es el doble de la de la señal de RF.

    
respondido por el user21760

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