Prueba de que cada circuito con diodos tiene exactamente una solución

Supongo que esto es para un problema artificial donde hay un circuito con pasivos conocidos y algunos I y V dados y puntos marcados para diodos de dirección desconocida. Mi respuesta es:

Esperemos que los creadores de los problemas se hayan limitado a los casos en que sus suposiciones llevan a sus conclusiones.

Podría ser teóricamente imposible de resolver si un diodo fuera extraño; Considere la conexión a tierra de ambos lados de un diodo. Podría haber casos no triviales que usen bases virtuales u otros voltajes iguales que podrían ser difíciles de detectar.

Seguramente podrían existir circuitos válidos que solo difieren en la dirección de un diodo para cualquier valor de "circuito válido" que incluya diodos. Considere la posibilidad de modelar interruptores utilizando esas reglas de diodo ideales. ¿Cómo puede decidir si un interruptor debe estar encendido o apagado? Esperemos que las corrientes y voltajes dados den suficientes pistas. Y espero que no te hayan dado pistas contradictorias.

Esto cambia la pregunta a "¿Cómo puede saber si una instancia tiene suficiente información para ser única?" Recuerdo que la respuesta es algo así como que necesitas una respuesta independiente para cada desconocido independiente, pero estoy seguro de que no pude demostrarlo o hacer una prueba general de la independencia de cualquiera de los dos.

Para diodos ideales, puede haber múltiples soluciones.

Contraejemplo trivial: tome cualquier circuito que contenga diodos ideales que haya resuelto. Ahora reemplace uno de los diodos ideales con un par de diodos conectados en paralelo, o si tiene polarización inversa, un par en serie, manteniendo la orientación en ambos casos. ¿Cómo resuelves la distribución de corriente o voltaje entre los dos? No se puede, el modelo de diodo ideal conduce a un casco convexo de soluciones igualmente válidas.

No tengo una prueba rigurosa, pero la idea general es que mientras los componentes de un circuito tengan curvas VI que sean funciones de un solo valor (esto incluye diodos y componentes lineales), solo puede haber Una solución para el circuito en general.

Creo que es bastante simple:

puede tratar los diodos ideales con polarización directa como cortos y los diodos ideales con polarización inversa como circuitos abiertos. Entonces, en cualquier caso, obtiene circuitos con solo componentes lineales (porque todos los diodos se resuelven con circuitos abiertos o cortos) y se sabe que esos circuitos lineales tienen exactamente una solución.

Desde la entrada de líneas de carga de Wikipedia

Solo hay una solución única debido a la naturaleza del problema. Esto se ilustra mejor gráficamente, en forma de líneas de carga. El diodo tiene una ecuación que describe la relación entre la corriente a través de él (eje y) y el voltaje a través de él (eje x). Aquí, el eje x es el voltaje a través del diodo.

Observe qué sucede con la corriente en la resistencia a medida que cambia el voltaje en el diodo. Si el voltaje es Vdd a través del diodo, entonces no habrá caída de voltaje a través de la resistencia, ya que el voltaje a través de la resistencia y el diodo deben sumarse a Vdd), y por lo tanto habría una corriente de cero a través de la resistencia (Ley de Ohm). De manera similar, si hubiera una caída de voltaje cero en el diodo, habría Vdd a través de la resistencia, y la corriente a través de la resistencia sería Vdd / R.

Ahora, sabemos que esas situaciones no son realistas, ya que la corriente en el diodo y la resistencia debe ser igual. Dada la ecuación para la resistencia (lineal) y la ecuación para el diodo (no lineal, pero monótono en aumento), podemos ver en el gráfico que esto solo puede suceder en un punto único, la intersección de las dos curvas. p>

Por lo tanto, la solución simultánea de tres ecuaciones (la resistencia, el diodo y el hecho de que las dos corrientes deben ser iguales) permite utilizar una solución única.

Este método funcionará para todos los elementos del circuito.

Es un poco diferente para los diodos de corriente inversa, ya que la corriente de la resistencia va hacia el otro lado, y es necesario agregar un cuadrante al gráfico.

La 'prueba' de esto solo funcionaría para ciertos circuitos. Si tiene alguna ganancia y los únicos elementos no lineales son los diodos en sí mismos, puede tener varios estados posibles. Por ejemplo (puede que no sea el ejemplo más simple posible).

Este circuito funcionará con un amplificador operacional ideal y perfectamente lineal y la salida nunca se apaga hasta el infinito o se satura, pero con 0 V en él puede ser de aproximadamente +6 o aproximadamente -6 en la salida, con un par u otro de diodos conductores. También funcionará con diodos "casi ideales" que tienen una caída hacia adelante cuando están encendidos y no con otras no idealidades.

(y, por supuesto, los diodos de túnel son un caso especial con su curva I-V no monotónica).

La prueba probablemente tendría que requerir solo elementos pasivos, como resistencias (sin fuentes de voltaje o corriente dependientes). O quizás solo con diodos ideales con 0V Vf.

Esto no es una prueba completa, pero quizás lo pondrá al corriente:

Si hay varias soluciones, hay al menos un diodo que puede tener polarización directa o inversa. Considere uno de esos diodos. En una solución dada, tiene un sesgo directo o inverso. Definamos los voltajes en sus terminales, Va y Vb, de modo que si tiene polarización directa, Va > = Vb, y si tiene polarización inversa, Vb > = Va. El resto del circuito (RotC) produce estos voltajes en los terminales del diodo.

Ya que indicó que el circuito consta de elementos lineales y diodos, RotC es una red puramente lineal o incluye más diodos.

Si el RotC es una red puramente lineal, tiene solo una solución, y la única solución a las restricciones Va > = Vb y Vb > = Va es que Va = Vb.

Si el RotC incluye más diodos con múltiples soluciones posibles, considere el siguiente diodo de este tipo. Nuevamente, está conectado a una red lineal o a una red con más diodos con múltiples soluciones posibles.

Si asumimos que hay un número finito de diodos en el circuito ...