Cálculo de la inductancia de la bobina rectangular

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Actualmente estoy trabajando en un proyecto sobre la inductancia. Quiero calcular la inductancia de una bobina en forma de rectángulo con un paso diferente de cero. Intenté esto aplicando la ley de Biot-Savart. Si hago esto para un cable en un sistema de ejes cartesianos obtengo una fórmula de la forma \ $ B = \ int {\ frac {(y-y_0)} {\ sqrt {((x-x_0) ^ 2 + (y -y_0) ^ 2)} ^ 3}} \ $ de 0 a \ $ x_0 \ $ o \ $ y_0 \ $. Que no puedo integrar a mano o por integración numérica en matlab (singularidad en \ $ y_0 \ $). Si lo escribo en el sistema de coordenadas polares, obtengo \ $ B = constante * (\ sin (\ theta_2) - \ sin (\ theta_1)) \ $. Pero no puedo averiguar cómo calcular el flujo magnético (phi = int {B dA}). Y la integración numérica tiene nuevamente algunos problemas con la singularidad cercana al cable.

¿Alguien tiene una mejor idea para calcular la inductancia en lugar de usar Biot-Savart? O alguien que sabe integrar esos integrands. Muchas gracias!

    
pregunta user3329103

2 respuestas

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Hay una calculadora web para esto. Y aquí , puede encontrar un excelente artículo sobre los métodos de cálculo para diferentes formas de bobinas.

    
respondido por el Martin Petrei
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Considere una línea en longitud de \ $ \ dfrac {y_0} {2} \ $ que lleva la corriente continua \ $ I \ $. Deseamos encontrar el campo magnético en el punto \ $ P \ left (\ dfrac {x_0} {2}, 0,0 \ right) \ $.

LafórmuladeBiotSavart:

$$\mathbf{B}=\dfrac{\muI}{4\pi}\int\limits_C\dfrac{d\mathbf{\ell}\times\mathbf{a_R}}{R^2}=\dfrac{\muI}{4\pi}\int\limits_C\dfrac{d\mathbf{\ell}\times\mathbf{R}}{R^3}$$

Sustituyelascantidades:

$$\mathbf{\ell}=y\;\mathbf{a_y},\quad\mathbf{R}=\dfrac{x_0}{2}\mathbf{a_x}-y\;\mathbf{a_y},\quadd\mathbf{\ell}\times\mathbf{R}=\dfrac{x_0}{2}(-\mathbf{a_z})$$

Teniendoencuentaquelaruta\$C\$esdesdelaparteinferioralapartesuperiordelcable,seconvierteen:

$$\mathbf{B}=\dfrac{\muI}{4\pi}\int\limits_C\dfrac{d\mathbf{\ell}\times\mathbf{R}}{R^3}=\dfrac{\muI}{4\pi}\int\limits_C\dfrac{\dfrac{x_0}{2}(-\mathbf{a_z})}{R^3}=-\dfrac{\muI}{8\pi}\int\limits_C\dfrac{x_0\mathbf{a_z}}{R^3}=-\dfrac{2\muIy_0}{\pix_0\sqrt{x_0^2+y_0^2}}\mathbf{Arizona}$$

Sitodalaestructuraesrectangularde\$x_0\$por\$y_0\$,simplementesumeloscuatrosegmentosdelíneadebidoalteoremadesuperposición:

$$ \ mathbf {B} = -2 \ dfrac {2 \ mu I y_0} {\ pi x_0 \ sqrt {x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2}} \ mathbf {a_z} - 2 \ dfrac {2 \ mu I x_0} {\ pi y_0 \ sqrt {x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2}} \ mathbf {a_z} = - \ dfrac {4 \ mu I} {\ pi x_0 y_0 \ sqrt {x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2}} \ left [x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2 \ right] \ mathbf {a_z} = \ dfrac {4 \ mu I} {\ pi x_0 y_0 \ sqrt {x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2}} \ left [x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2 \ right] (- \ mathbf {a_z}) = \ dfrac {4 \ mu I } {\ pi x_0 y_0 \ sqrt {x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2}} \ left [x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2 \ right] \ mathbf {a _ {- z}} $$

    
respondido por el hkBattousai

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