No creo que este problema tenga una solución matemática fácil de definir. Para ver si un circuito dado puede ser enrutado o no, uno usa típicamente un programa de enrutamiento automático, que puede probar cientos de soluciones antes de abandonar o declarar que existe un enrutamiento. Pero luego podría reorganizar los componentes en el tablero y pasar por esto nuevamente. En cualquier caso, después de pasar por el proceso de enrutamiento, tiene que hacer un DRC (Design Rule Check) para ver si hay problemas con las trazas demasiado cerca de otras trazas o pines, etc., que pueden afectar su diseño nuevamente.
Entonces, si hay una descripción matemática de un enrutador automático disponible, lo más probable es que sea un candidato para el algoritmo que está buscando.
Si comienza con varias capas, digamos 4, 6 u 8 dependiendo de la complejidad del circuito, y se enruta con bastante rapidez, entonces puede reducir el número de capas y volver a intentarlo hasta que tenga dificultades de enrutamiento. Entonces detente.
Si desea tener un tablero de una capa, es casi seguro que necesitará puentes, ya que inevitablemente habrá algunas áreas en el diseño donde los rastros deben cruzarse. Aunque algunos programas de diseño manejan saltadores en una situación como esta automáticamente, otros como Eagle no lo hacen. La solución más sencilla es fingir que el PCB es una placa de dos capas y otorgar un alto costo al nivel de la capa superior (el que tiene componentes) para que no intente colocar rastros allí a menos que sea absolutamente necesario. Las huellas en la parte superior nunca existirán realmente (ya que no estarás grabando ese lado), sino que estas huellas representarán los puentes.
Cuando la placa esté enrutada, querrá asegurarse de que las huellas que representan los puentes no vayan debajo de ningún componente (si fueran huellas reales, podrían hacerlo, por lo que es probable que el enrutador intente colocar algunas). Si los hay, muévelos manualmente. Cuando el tablero esté relleno, simplemente coloque cables entre las vías que representan los extremos de las trazas.