Cálculo de una capacidad en el dominio de los fasores

Tu primer método es casi correcto. Te equivocaste en el último paso, cuando conectaste los números. Sugerencia: mire las unidades para cada variable.

Tu segundo método falló porque no estás contabilizando la fase. \ $ V_C \ $ no está en fase con \ $ V_e \ $, \ $ V_A \ $, o \ $ I \ $, por lo que no puede simplemente sumar o restar sus magnitudes y obtener un valor físicamente significativo. En su primer acercamiento, ya encontró que:

$$ | V_C | + | V_A | > | V_e | $$

Esto parece que viola la Ley de Voltaje de Kirchoff, pero realmente no lo hace. KVL dice que:

$$ v_c (t) + v_a (t) = v_e (t) $$

En términos de exponenciales complejos (también conocidos como cosenos), eso da:

$$ | V_C | e ^ {j (\ omega t + \ phi_C)} + | V_A | e ^ {j (\ omega t + \ phi_A)} = | V_e | e ^ {j (\ omega t + \ phi_e)} $$

que a su vez significa que:

$$ | V_C | e ^ {j \ phi_C} + | V_A | e ^ {j \ phi_A} = | V_e | e ^ {j \ phi_e} $$

o, en notación fasorial:

$$ V_C \ angle \ phi_C + V_A \ angle \ phi_A = V_e \ angle \ phi_e $$

Inténtalo de nuevo con las fases incluidas y deberías poder obtener la respuesta correcta.

EDITAR: La ecuación que has desarrollado es:

$$ 100 \ mathrm V \ angle \ phi_e = V_C \ angle {- \ frac \ pi 2} + 50 \ mathrm V \ angle 0 $$

Esta es una ecuación en dos incógnitas. Necesitas otra ecuación. Hay dos opciones:

$$ \ phi_C = \ tan ^ {- 1} \ frac {-V_C} {V_A} = \ tan ^ {- 1} \ frac {-V_C} {50 \ mathrm V} $$

$$ | V_C | ^ 2 = | V_e | ^ 2 - | V_A | ^ 2 = (100 \ mathrm V) ^ 2 - (50 \ mathrm V) ^ 2 $$

Las tangentes inversas son difíciles de manejar, ya que tienden a confundir los sistemas de álgebra computacional. La segunda ecuación es mucho más fácil, se puede resolver por sí misma y lleva directamente a la respuesta que desea.