Calcular la función de transferencia de pulsos

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Me han asignado la tarea de mostrar que la función de transferencia de impulsos G (z) de la siguiente planta  \ begin {equation} G_p (s) = {12 \ over (s + 1) (s + 4)} \ end {equation} siendo muestreados y retenidos por una retención de orden cero con un período de muestreo T = 0.2s es igual a \ begin {equation} G (z) = {0.1745z ^ {- 1} + 0.1249z ^ {- 2} \ over1-1.268z ^ {- 1} + 0.3678z ^ {- 2}} \ end {equation}

Comencé combinando la planta con la bodega para obtener \ begin {equation} {12 (1-e ^ {- sT}) \ over s (s + 4) (s + 1)} \ end {equation}

I know \ begin {equation} {(1-e ^ {- sT})} \ end {equation} es igual a

\ begin {equation} {(z-1) / z} \ end {equation}

y dividí la ecuación restante en fracciones parciales, encontré la transformada z de cada uno y los recombiné para obtener,

\ begin {equation} {0.173z ^ {- 1} + 0.126z ^ {- 2} \ over1-2.27z ^ {- 1} + 1.64z ^ {- 2} -0.368z ^ {- 3} } \ end {ecuación} combinado con la transformada z de la retención, esto es igual a

\ begin {equation} G (z) = {0.173-0.047z ^ {- 1} -0.126z ^ {- 2} \ sobre z-2.27 + 1.64z ^ {- 1} -0.368z ^ {- 2}} \ end {equation}

Esto no es igual a la función de transferencia que se supone que debo obtener. ¿Alguien ve lo que estoy haciendo mal?

    
pregunta Ca01an

2 respuestas

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Ha utilizado la expresión correcta para la retención de orden cero, y la función de transferencia es de hecho: \ begin {equation} H (s) = \ dfrac {12 (1-e ^ {- sT})} {s (s + 1) (s + 4)} \ end {ecuación} Sin embargo, no está claro cómo procedió desde aquí. Parece que simplemente has reemplazado s por z ( z en realidad es igual a e sT ) y luego divida la función en fracciones parciales.

Alternativamente, primero puedes encontrar h (t) y luego encontrar H (z) :

\ begin {eqnarray} H (s) & = & \ dfrac {12 (1-e ^ {- sT})} {s (s + 1) (s + 4)} \\ & = & (1-e ^ {- sT}) \ left \ {\ dfrac {3} {s} - \ dfrac {4} {s + 1} + \ dfrac {1} {s + 4} \ right \} \ end {eqnarray} Tomando la transformada de Laplace inversa: \ begin {eqnarray} h (t) & = & f (t) u (t) - f (t-T) u (t-T) \ end {eqnarray} dónde \ begin {equation} f (t) = 3 - 4e ^ {- t} + e ^ {- 4t} \ end {ecuación} Ahora se puede encontrar H (z) en h (t) . Puede consultar este enlace para obtener una tabla de fórmulas: enlace

    
respondido por el V-Red
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Hay un factor común de \ $ \ small (z-1) \ $ en el numerador y denominador de tu expresión final. Cancele estos y quedará con:

$$ \ small G (z) = 0.17 \ frac {z (z + 0.73)} {z ^ 2-1.29z + 0.38} $$

compare con su expresión de destino requerida: \ begin {equation} \ small G (z) = {0.1745z ^ {- 1} + 0.1249z ^ {- 2} \ over1-1.268z ^ {- 1} + 0.3678z ^ {- 2}} = 0.1745 \ frac {z (z + 0.7158)} {z ^ 2-1.268z + 0.3678} \ end {ecuación}

Nota: He trabajado con potencias positivas de z (¡más fáciles de escribir en el solucionador de raíz!) y redondeé todos los cálculos a 2 d.p.

\ $ Addendum \ $

Para ilustrar, considere el simple proceso TF: \ $ \ small G_p (s) = \ large \ frac {1} {s + 1} \ $, y muestre / mantenga: \ $ \ small G_H (s) = \ large \ frac {1-e ^ {- sT}} {s} \ $.

El TF combinado es: $$ \ small G (s) = \ frac {(1-e ^ {- sT})} {s} \ times \ frac {1} {(s + 1)} \ small = (1-e ^ {- sT}) \ frac {1} {s (s + 1)} = (1-e ^ {- sT}) \ left (\ frac {1} {s} - \ frac { 1} {s + 1} \ derecho) $$

Tomando transformadas z: $$ \ small G (z) = \ frac {z-1} {z} \ left (\ frac {z} {z-1} - \ frac {z} {za} \ right) $$ donde \ $ \ pequeño a = e ^ {- T} \ $

Si el corchete se evalúa primero, tenemos:

$$ \ small G (z) = \ frac {(z-1)} {z} \ times \ frac {z (1-a)} {(z ^ 2- (1 + a) z + a )} = \ frac {(1-a) (z-1)} {(z ^ 2- (1 + a) z + a)} $$ ... y el factor \ $ \ small (z-1) \ $ en el denominador no es aparente.

Sin embargo, si se multiplica primero por \ $ \ frac {(z-1)} {z} \ $ primero, se obtiene la forma simplificada: $$ \ small G (z) = 1- \ frac {z-1} {z-a} = \ frac {1-a} {z-a} $$

    
respondido por el Chu

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