¿Por qué necesitamos las transformadas de Fourier de pecado y cos? [cerrado]

La suya es una pregunta mucho mejor de lo que parece en la primera lectura.

La transformada de Fourier de un seno / coseno es un par de funciones delta \ $ \ delta \ $ de Dirac en \ $ \ pm f_c \ $. La función delta de Dirac se puede considerar como el equivalente en frecuencia continua de los coeficientes de frecuencia discreta de la expansión de la serie de Fourier .

La razón por la que los mezclamos en EE es debido a la conveniencia analítica. Mira el siguiente ejemplo.

Supongamos que, como parte de un sistema de transmisión, tenemos un modulador que toma una señal de banda base \ $ x (t) \ $ y modula un operador \ $ \ cos (\ omega_c t) \ $ con él, de modo que obtener una señal modulada \ $ s (t) = x (t) \ cos (\ omega_c t) \ $.

Si queremos calcular el espectro \ $ S (f) \ $ de la señal modulada \ $ s (t) \ $ we do necesitamos la transformada de Fourier del operador \ $ \ cos (\ omega_c t) \ $. En este caso:

$$ S (f) = \ frac {1} {2} [X (f-f_c) + X (f + f_c)] $$

donde \ $ X (f) \ $ es la transformada de Fourier (a.k.a. espectro) de \ $ x (t) \ $.

Por lo tanto, los componentes espectrales de señal de banda base de \ $ x (t) \ $ se han "movido hacia arriba en el espectro de frecuencias" alrededor de la portadora \ $ f_c \ $. Este resultado es la piedra angular de las comunicaciones de radio.

Pero, ¿cómo obtuvimos el resultado anterior, que parece engañoso simple? Se obtiene a partir de la convolución de \ $ X (f) \ $ con la transformada de Fourier del transportista (el par delta de Dirac que mencionamos al principio). Este cálculo directo no podría haberse realizado sin utilizar la transformada de Fourier de la función seno / coseno. Por eso lo definimos: porque lo necesitamos.

Al final, el punto es que en EE usualmente usamos funciones periódicas seno / coseno junto con una señal de información aperiódica, y necesitamos analizarlas juntas dentro del mismo marco matemático : la Transformada de Fourier.

Uh, este es un gran tema, y no puedo ni intentar responderlo, pero puedo darte algunos consejos:

Incluso en aquel entonces, cuando el Sr. Fourier publicó su transformación de pecado y cos, fue muy bien entendido. Esto condujo a una amplia comprensión y posterior adaptación de su concepto. En cierto sentido, la elección del pecado también fue la más fácil, ya que incluso si no ha entendido completamente la transformación, podría obtener la idea de "escupir una señal compleja en un montón de señales simples".

También hay otras transformaciones de estilo de Fourier. No es solo pecado y cos. Solo para nombrar un ejemplo aquí:

La Transformada de Walsh hace básicamente lo mismo que la Transformada de Fourier, pero se basa en un grupo de señales de onda cuadrada. ¡Sí! Uno y cero. No hay cosas de puntos de racha que involucren :-)

Trabajando con señales binarias, la transformación de Walsh tiene algunas propiedades agradables si tiene que implementarla en hardware, pero el inconveniente es que los resultados que obtendrá no son, en general, tan fáciles de usar. Tan fácil como es la implementación en hardware, más difícil es usar :-)

Además de estos dos extremos, hay toneladas de otras transformaciones de estilo de Fourier. La más grande y más importante es probablemente la transformada Wavelet que no utiliza una función de base fija. Puede rodar sus propias funciones siempre y cuando obedezca algunas reglas.

Por cierto, los armónicos no existen. Lo que ves, en cambio, es el resultado de la correlación con las funciones de base sin / cos en N * Fbinspacing, con N como entero.

Si tu única herramienta es un pecado / cos, la matemática se ve obligada a forzar la energía en esos "armónicos".

Es útil saberlo, porque puedes diseñar tus sistemas para que sean más inmunes a las sobrecargas o los atascos en presencia de lo que se te dice que son "armónicos".