Aquí está mi problema:
$$ \ frac {d ^ 2y} {dt ^ 2} + 5 \ frac {dy} {dt} + 8y (t) = \ frac {dx} {dt} + 3x (t) $$
Tengo que probar si este sistema es homogéneo y aditivo para que la función sea lineal, pero ¿puedo demostrarlo? Dice que la salida debe ser la entrada, y nuevamente, ¿cómo puedo resolver el problema anterior? Por ejemplo, \ $ x (t) \ $ debe ser igual a \ $ y (t) \ $ ¿cómo puedo implementar esa regla en la función?
La entrada a este sistema se denota por \ $ x (t) \ $ y su salida por \ $ y (t) \ $.
Para demostrar que el sistema es homogéneo , lo que debe mostrar es que
si la entrada \ $ x (t) \ $ produce la salida \ $ y (t) \ $, luego la salida producida por la entrada \ $ \ alpha \ cdot x (t) \ $ es \ $ \ alpha \ cdot y (t) \ $.
Aquí, \ $ \ alpha \ $ es un número real elegido arbitrariamente, es decir, el resaltado La declaración debe mantenerse independientemente del valor de \ $ \ alpha \ $. Similar, el requisito debe cumplirse independientemente de la elección de entrada \ $ x (t) \ $. En otras palabras, encontrar un par de señales de entrada y salida \ $ x (t) \ $ y \ $ y (t) \ $ y un número real \ $ \ alpha \ $ para el cual la declaración resaltada es verdadera No es suficiente; tiene que mantener para todas tales elecciones.
Para probar que el sistema es aditivo, lo que debe mostrar es que
si las entradas \ $ x_1 (t) \ $ y \ $ x_2 (t) \ $ producen salidas \ $ y_1 (t) \ $ y \ $ y_2 (t) \ $ respectivamente, entonces la salida producida por la entrada \ $ x_1 (t) + x_2 (t) \ $ es \ $ y_1 (t) + y_2 (t) \ $.
Una vez más, la recolección de cerezas no está permitida; la declaración tiene que sostener para todas las opciones de señales de entrada y señales de salida correspondientes.
No es demasiado difícil verificar que su sistema sea homogéneo y aditivo.
Le daré algunos consejos sobre cómo hacer esto (si no queda claro después de esto, dígalo y trataré de aclararlo):
Primero veamos de qué se trata la linealidad: como se señala en la pregunta, debe probar la homogeneidad y la aditividad y podemos hacerlo directamente desde las propiedades de los diferenciales.
Supongamos que existen las primeras y segundas derivadas de y. La aditividad nos dice que si para la entrada \ $ y_1 \ $, obtenemos la salida \ $ x_1 \ $ y para la entrada \ $ y_2 \ $, obtenemos la salida \ $ x_2 \ $, luego para la entrada \ $ (y_1 + y_2) \ $, deberíamos obtener la salida \ $ (x_1 + x_2) \ $. Así que tenemos
\ $ \ frac {d ^ 2y_1 (t)} {dt ^ 2} + 5 \ frac {dy_1 (t)} {dt} + 8y_1 (t) = \ frac {dx_1 (t)} {dt} + 3x_1 (t) \ $
\ $ \ frac {d ^ 2y_2 (t)} {dt ^ 2} + 5 \ frac {dy_2 (t)} {dt} + 8y_2 (t) = \ frac {dx_2 (t)} {dt} + 3x_2 (t) \ $
Ahora, si recordamos que la derivada de una suma es la suma de las derivadas, podemos escribir lo siguiente:
$$ \ frac {d ^ 2 (y_1 + y_2) (t)} {dt ^ 2} + 5 \ frac {d (y_1 + dy_2) (t)} {dt} + 8 (y_1 + y_2) (t) = \\ = \ frac {d ^ 2y_1 (t)} {dt ^ 2} + 5 \ frac {dy_1 (t)} {dt} + 8y_1 (t) + \ frac {d ^ 2y_2 (t) } {dt ^ 2} + 5 \ frac {dy_2 (t)} {dt} + 8y_2 (t) $$
Entonces obtuvimos la suma de la primera y la segunda ecuación como resultado de la tercera. Ahora debería ser obvio lo que sucede con la salida.
En cuanto a la homogeneidad, podemos recordar lo que sucede cuando tomamos una derivada de una variable multiplicada por una constante:
\ $ \ frac {d ^ 2cy_1 (t)} {dt ^ 2} + 5 \ frac {dcy_1 (t)} {dt} + 8cy_1 (t) = c \ frac {d ^ 2y_1 (t)} {dt ^ 2} + 5c \ frac {dy_1 (t)} {dt} + 8cy_1 (t) = c \ left (\ frac {d ^ 2 (y_1) (t)} {dt ^ 2} + 5 \ frac {d (y_1) (t)} {dt} + 8 (y_1) (t) \ derecha) \ $
A continuación tenemos una invariancia de tiempo: un sistema que para la entrada \ $ y (t) \ $ genera la salida \ $ x (t) \ $ para la entrada \ $ y (t-t_0) \ $ genera la salida \ $ x ( t-t_0) \ $ se llama invariante en el tiempo. Para probar esto, simplemente en todas las ubicaciones donde tenga \ $ y (t) \ $ y \ $ x (t) \ $, sustitúyalos por \ $ y (t-t_0) \ $ y \ $ x (t- t_0) \ $. Entonces eche un vistazo al sistema. Si todos los tiempos están en el formato \ $ t-t_0 \ $, entonces el sistema es invariante en el tiempo. Si encuentra un t solitario en algún lugar, entonces no es invariante en el tiempo.
Finalmente tenemos causalidad. La propiedad de causalidad simplemente establece que si la salida del sistema es \ $ x (t) \ $ en el momento \ $ t = t_0 \ $, entonces su salida solo puede depender de las entradas \ $ y (t) \ $ para \ $ t \ leq t_0 \ $. Más simplemente, el sistema es causal si puede funcionar sin poder predecir el futuro \ $ ^ 1 \ $. Para probar esto, simplemente ponga un número en lugar de t. Una vez que haga todos los cálculos de tiempo, si en algún punto del resultado obtiene un número mayor que su número t, el sistema no es causal.
\ $ ^ 1 \ $ Al principio puede parecer extraño ver un sistema no causal, ya que necesita saber el futuro para ver lo que está sucediendo ahora, pero si está procesando por lotes en un conjunto de datos , entonces ya tienes datos futuros disponibles, por lo que esto funciona bien.