Resolviendo la impedancia y el cambio de fase en un circuito de serie RCL en paralelo con números complejos

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Tiene muchos problemas para trabajar a través de un circuito de CA, y pide ayuda.

El circuito es relativamente simple: tengo un capacitor de capacitancia \ $ C \ $ y una resistencia de resistencia \ $ R \ $ enganchada en paralelo, que se engancha en serie con un bucle de bobina de impedancia \ $ L \ $ a una fuente de voltaje alterno de \ $ e_0 \ sin (\ omega t) \ $.

Seguiré los pasos para mostrarte dónde tengo mis problemas.

Entonces, primero, resolviendo la combinación paralela. $$ \ frac {1} {Z_t} = \ frac {1} {Z_c} + \ frac {1} {Z_r} $$

y sabemos que \ $ Z_c = \ frac {-i} {\ omega C} \ $ y \ $ Z_r = R \ $

Entonces $$ \ frac {1} {Z_t} = \ frac {1} {R} - \ frac {\ omega C} {i} = \ frac {1} {R} + \ omega Ci $$

y, por lo tanto, $$ Z_t = \ frac {R} {1 + i \ omega CR} $$

Ahora, para encontrar la impedancia total, \ $ Z = Z_t + Z_l \ $

$$ Z = \ frac {R} {1 + i \ omega cR} + i \ omega L = \ frac {R (1- \ omega ^ 2 LCR) + i \ omega L} {1 + i \ omega CR} $$

¿Es eso correcto?

Además, el siguiente problema que tengo es el cambio de fase. Por definición, el cambio de fase de un circuito complejo es $$ \ phi = \ arctan \ left (\ frac {\ text {Imaginary}} {\ text {Real}} \ right) $$

¿Cómo diablos se supone que debo obtener un imaginario y un verdadero fuera de esa ecuación? ¿Qué partes son imaginarias y cuáles son reales?

    
pregunta genap

2 respuestas

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Suponiendo que esta ecuación es correcta: $$ Z = \ frac {R} {1 + i \ omega cR} + i \ omega L $$

Multiplicamos el nominador del primer término y el denominador por el complejo conjugado del denominador:  $$ .. = \ frac {R (1-i \ omega c R)} {(1 + i \ omega cR) (1-i \ omega c R)} + i \ omega L $$ y así deshacerse de cosas imaginarias en el denominador: $$ .. = \ frac {R (1-i \ omega c R)} {(1+ \ omega ^ 2 c ^ 2R ^ 2)} + i \ omega L $$ Y esta cosa se separa fácilmente a partes reales e imaginarias: $$ .. = \ frac {R} {1+ \ omega ^ 2 c ^ 2R ^ 2} + i \ left (\ omega L - \ frac {\ omega c R ^ 2} {1+ \ omega ^ 2 c ^ 2R ^ 2} \ derecha) $$

    
respondido por el Eugene Sh.
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El método más sencillo para obtener el ángulo de fase general es:

Phi = (ángulo de fase del numerador) - (ángulo de fase del denominador)

Phi = arctan [wL / R (1-w ^ 2LCR)] - arctan (wCR)

Esto ahorra una gran cantidad de álgebra.

En general, si tiene una impedancia compleja, Z, en la forma: Z = (A + jB) / (C + jD), la mejor forma de obtener el módulo (o 'magnitud') y el ángulo de fase es:

Magnitud = SQRT (A ^ 2 + B ^ 2) / SQRT (C ^ 2 + D ^ 2)

Ángulo de fase = arctan (B / A) - arctan (D / C)

(Nota, en ingeniería usamos 'j' como operador imaginario, ya que 'i' está reservado para la corriente)

    
respondido por el Chu

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