Modelo Ebers-Moll
$$
\ begin {align}
I _ {\ mathrm {b}} & = \ frac {I _ {\ mathrm {s}}} {\ beta _ {\ mathrm {f}}} \ left (\ mathrm {e} ^ {\ frac {V _ {\ mathrm {eb}}} {NV _ {\ mathrm {t}}}} - 1 \ right) + \ frac {I _ {\ mathrm {s}}} {\ beta _ {\ mathrm {r}}} \ left (\ mathrm {e} ^ {\ frac {V_ {\ mathrm {eb}} - V _ {\ mathrm {ec}}} {NV _ {\ mathrm {t}}}} - 1 \ right)
\\ [0.9em]
I _ {\ mathrm {c}} & = I _ {\ mathrm {s}} \ left (\ mathrm {e} ^ {\ frac {V _ {\ mathrm {eb}}} {NV _ {\ mathrm {t}} }} - 1 \ derecha) - I _ {\ mathrm {s}} \ frac {\ beta _ {\ mathrm {r}} + 1} {\ beta _ {\ mathrm {r}}} \ left (\ mathrm {e} ^ {\ frac {V _ {\ mathrm {eb}} - V _ {\ mathrm {ec}}} {NV _ {\ mathrm {t}}}} - 1 \ right).
\ end {align}
$$
Parámetros del modelo:
- Saturación actual \ $ I_ \ mathrm {s} \ $
- Factor de idealidad \ $ N \ $
- Tensión térmica \ $ V_ \ mathrm {t} \ $
- Ganancia de avance \ $ \ beta_ \ mathrm {f} \ $
- Ganancia inversa \ $ \ beta_ \ mathrm {r} \ $
Extracción directa de parámetros
La forma más directa de encontrar valores de parámetros para el modelo Ebers-Moll a partir de mediciones es mediante extracción directa.
La siguiente figura ilustra una medición Forward Gummel del 2N3906 BJT, que es cuando \ $ V_ \ mathrm {ec} \ $ se mantiene un potencial constante y \ $ V_ \ mathrm {eb} \ $ es barrido en un rango. Para esta cifra \ $ V_ \ mathrm {ec} = 0.3 \ \ text {V} \ $. (Dejando de lado, elegí esto mal, ya que quiere que el valor de \ $ V_ \ mathrm {eb} - V_ \ mathrm {ec} \ $ sea pequeño para que el modelo Ebers-Moll sea una buena aproximación).
Enlamitaddelamedición,vemosunaregiónidealqueparecelinealperoenrealidadesexponencial,yaquelacorrienteestáenunejelogarítmico.ElmodeloEbers-MollsolocapturaelcomportamientoexponencialdelBJTynolasregionesdealtaybajacorriente,porloquelaspartesenlapartesuperioreinferiorpuedenignorarse.Desdelamitaddelamediciónsepuedendeterminar3de4parámetros.
Elgradientedelaregiónidealcontroladaporlacombinacióndeparámetros\$NV_\mathrm{t}\$.InspeccionandolasecuacionesdeEbers-Mollcuandoestánsesgadasenlaregiónactivahaciaadelante(esdecir,\$V_\mathrm{eb}-V_\mathrm{ec}\$esnegativo)podemosver$$I_\mathrm{c}=I_\mathrm{s}\mathrm{e}^\frac{V_\mathrm{eb}}{NV_\mathrm{t}}$$donde\$NV_\mathrm{t}\$eselgradientedelacorrienteexponencialconrespectoa\$V_\mathrm{eb}\$.Elvoltajetérmicosepuedeencontrarmidiendolatemperaturadelaunióndurantelasmedicionesdecorrientey aplicando esta fórmula .
También de esta ecuación podemos ver que cuando el exponente es 0, \ $ I_ \ mathrm {c} = I_ \ mathrm {s} \ $. Cuando \ $ V_ \ mathrm {eb} \ $ se aproxima a 0, sin embargo, el BJT no se comporta de manera ideal, por lo que para encontrar \ $ I_ \ mathrm {s} \ $ extrapolamos de la región ideal.
Finalmente, la ganancia se puede encontrar en la aproximación \ $ I_ \ mathrm {c} = I_ \ mathrm {b} \ beta_ \ mathrm {f} \ $, es decir, seleccionando un punto en la región ideal y encontrando el multiplicativo diferencia.
Para mediciones inversas \ $ V_ \ mathrm {eb} \ $ simplemente se convierte en negativo, lo que revela una gráfica similar pero con el factor de ganancia inversa \ $ \ beta_ \ mathrm {r} \ $.
Referencias
Ian Getreu, 'Modelando el transistor bipolar', 1976, Tektronix