Análisis de filtro de muesca activa Twin-T

La transformación Delta-Star se puede utilizar para analizar la red Twin-T mediante el siguiente procedimiento:

1. Las dos redes T se pueden convertir en redes Delta dobles en paralelo:
2. CondenseestasdosredesDeltaenunasolaredDelta

3. ConviertalaredDeltaresultantedenuevoenunaredT.

4. ParaverelcomportamientodelamuescadelaTdoblepasiva,supongaqueelnodo2estáconectadoatierraytratelaredDeltaqueobtuvoenelpaso3comoundivisordevoltaje.

   Encontrarásunafuncióndetransferenciade$$H(s)=\frac{s^2+{\omega_0}^2}{s^2+4s\omega_0+{\omega_0}^2}$$.

5. Paraverelefectodelarranque,supongaqueelnodo2semantieneenunvoltajeαVout,dondeαesunfactordeescalaentre0y1.LaredTtodavíaactúacomoundivisordevoltaje,dividiendoentreVinyαVout.Paraencontrarelcomportamientodelsistema,necesitamosresolverlaecuación$$v_\textrm{out}=\alpha\cdotv_\textrm{out}+H(s)(v_\textrm{in}-\alpha\cdotv_\textrm{out})$$,donde$H(s)=Z_2/(Z_1+Z_2)$eslafuncióndetransferenciasinretroalimentación.Alhaceresto,encontramosunanuevafuncióndetransferencia:$$G(s)=\frac{1}{(1-\alpha)\frac{1}{H(s)}+\alpha}$$.Tengaencuentaquepara$\alpha=0$(sincomentarios),tenemos$G(s)=H(s)$,comoseesperaba.Para$\alpha=1$,elsistemasevuelveinestable.Altrazarestafunciónparavaloresdealfaentre0y1,encontramosungranaumentoenlaQdelamuesca.

Lafuncióndetransferenciaresultantees:$$G(s)=\frac{s^2+{\omega_0}^2}{s^2+4s\omega_0(\alpha-1)+{\omega_0}^2}$$.

Asíescomosevelarespuestadefrecuencia,yaquelagananciaderetroalimentación$\alpha$cambia:

El álgebra de las diversas transformaciones es un poco tedioso. Usé Mathematica para hacerlo:

(* Define the delta-star and star-delta transforms *)

deltaToStar[{z1_,z2_,z3_}]:={z2 z3, z1 z3, z1 z2}/(z1+z2+z3)
starToDelta[z_]:=1/deltaToStar[1/z]

(* Check the definition *)
deltaToStar[{Ra,Rb,Rc}]

(* Make sure these transforms are inverses of each other *)
starToDelta[deltaToStar[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify
deltaToStar[starToDelta[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify

(* Define impedance of a resistor and a capacitor *)
res[R_]:=R
cap[C_]:=1/(s C)

(* Convert the twin T's to twin Delta's *) 
starToDelta[{res[R], cap[2C], res[R]}]//FullSimplify
starToDelta[{cap[C], res[R/2], cap[C]}]//FullSimplify

(* Combine in parallel *)
1/(1/% + 1/%%)//FullSimplify

(* Convert back to a T network *)
deltaToStar[%]//FullSimplify

starToVoltageDivider[z_]:=z[[2]]/(z[[1]]+z[[2]])
starToVoltageDivider[%%]//FullSimplify

% /. {s-> I ω, R ->  1/(ω0 C)} // FullSimplify

Aquí hay una forma de hacerlo: el filtro de muesca con retroalimentación es un poco más complicado, así que por el momento solo describiré cómo hacer la forma general del filtro de muesca en T doble:

Pararesolverelcircuitomedianteelanálisisnodal,loquehayquehaceresconvertirlafuentedevoltajeVinensufuenteNortonequivalente.Sinembargo,esunpococomplicadoporquehayqueconvertirVinendosfuentesNortonparatenerencuentaR1yC1yluegoreorganizarelcircuitoparacompensar.Así:

Los puntos 1, 2 y 3 se muestran en sus nuevas posiciones en el circuito equivalente. Entonces deberías poder escribir las ecuaciones de KCL por inspección y crear una matriz aumentada de 3 por 3 en las incógnitas V1, V2 y V3. Luego puede resolver V2 / Vo en términos de Vin usando la regla de Cramer.

El circuito de retroalimentación como se muestra en la hoja de datos de TI no debería ser mucho más complicado, ya que la salida está amortiguada por U1A y U1B, entonces podría crear un circuito equivalente de fuente de corriente similar; en lugar de que R2 y C2 en mi primer diagrama fueran a tierra, estarían conectados a una fuente de voltaje con un valor de \ $ Vo * \ alpha \ $, donde alfa es la relación de división de voltaje.

Editar: primer diagrama corregido