¿Por qué las funciones para el dominio de frecuencia se expresan en términos de un número complejo completo en lugar de solo omega?

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No entiendo por qué algunas fórmulas que se usan en ingeniería eléctrica, especialmente porque usan el análisis de Fourier, incluyen números estáticos en entradas de funciones, en lugar de solo la variable cambiante.

Por ejemplo, la fórmula para la Transformada de Fourier de $$ x (t) = \ cos \ omega_0t $$ es $$ X (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega- \ omega_0) + \ pi \ delta (\ omega + \ omega_0) $$ ¿Por qué esto es en términos de \ $ j \ omega \ $ en lugar de solo \ $ \ omega \ $, porque \ $ j \ $ nunca cambia? He visto que otras fórmulas utilizan números complejos como entrada de función, como $$ X (e ^ {j \ Omega}) = 1 $$ Nuevamente, si \ $ e \ $ y \ $ j \ $ no están cambiando, ¿por qué incluirlos como entrada de función?

    
pregunta Peter Moran

1 respuesta

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¿Por qué esto es en términos de jω en lugar de solo ω,

En general, tenemos la frecuencia compleja \ $ s = \ sigma + j \ omega \ $.

Para la transformación de Fourier, establecemos \ $ \ sigma = 0 \ $ de modo que \ $ s = j \ omega \ $.

Por lo tanto, \ $ X (s) \ rightarrow X (j \ omega) \ $

En el caso de la transformación Z, tenemos en general \ $ z = Ae ^ {j \ Omega} \ $.

Para la Transformada de Fourier en Tiempo Discreto (DTFT), \ $ A = 1 \ $ .

Por lo tanto, \ $ X (z) \ rightarrow X (e ^ {j \ Omega}) \ $

La notación varía entre disciplinas y autores. Mientras el contexto sea claro, se puede variar la notación.

    
respondido por el Alfred Centauri

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