3-dB Frecuencia de la función de transferencia de segundo orden

Le muestro cómo obtener la frecuencia de corte 3dB para el filtro de paso bajo \ $ G_1 (s) \ $. Puede calcular las frecuencias de corte del filtro de paso de banda \ $ G_2 (s) \ $ de forma similar, siempre que sepa que su magnitud máxima se alcanza en \ $ \ omega = \ sqrt {b} \ $ , como se señala en un comentario por Robert Bristow-Johnson. El último hecho se puede derivar estableciendo el derivado de \ $ | G_2 (j \ omega) | ^ 2 \ $ a cero. (Tenga en cuenta que \ $ b > 0 \ $ siempre se cumple para que \ $ G_1 (s) \ $ y \ $ G_2 (s) \ $ sean funciones de transferencia de filtros causales y estables.)

Para calcular la frecuencia de corte de 3dB de \ $ G_1 (s) \ $ tiene que resolver

$$ | G_1 (j \ omega) | ^ 2 = \ frac {| G (0) | ^ 2} {2} = \ frac {1} {2b ^ 2} \ tag {1} $$

Con

$$ G_1 (j \ omega) = \ frac {1} {- \ omega ^ 2 + ja \ omega + b} \ tag {2} $$

obtienes

$$ | G_1 (j \ omega) | ^ 2 = \ frac {1} {(b- \ omega ^ 2) ^ 2 + a ^ 2 \ omega ^ 2} \ tag {3} $$

Conectar (3) en (1) da

$$ (b- \ omega ^ 2) ^ 2 + a ^ 2 \ omega ^ 2 = 2b ^ 2 \ tag {4} $$

Con la sustitución \ $ x = \ omega ^ 2 \ $, obtienes la siguiente ecuación cuadrática

$$ x ^ 2 + (a ^ 2-2b) x-b ^ 2 = 0 \ tag {5} $$

con la solución positiva

$$ x_0 = b- \ frac {a ^ 2} {2} + \ sqrt {\ left (b- \ frac {a ^ 2} {2} \ right) ^ 2 + b ^ 2} \ tag {6} $$

Desde (6), el valor de la frecuencia de corte de 3dB es

$$ \ omega_c = \ sqrt {x_0} = \ sqrt {b- \ frac {a ^ 2} {2} + \ sqrt {\ left (b- \ frac {a ^ 2} {2} \ right ) ^ 2 + b ^ 2}} \ tag {7} $$