Longitud de la línea de transmisión para una transmisión de potencia máxima

El problema aquí es que no puede hacer coincidir completamente su impedancia interna de 50 ohmios con la carga de 100 ohm con una longitud de línea de transmisión. Necesita un talón, una tapa o un inductor también, junto con la línea de transmisión, para obtener el Zin de 50 ohmios que desea.

Esto puede no ser muy visible con la ecuación de Zin, pero si viera esto en el gráfico de Smith, pronto se dará cuenta de que una línea de transmisión por sí sola no le dará los 50 ohmios que está buscando .

No sé si está familiarizado con el cuadro de Smith, pero observe lo siguiente:

Elpunto"2.0" representa en ese diagrama su carga de 100 ohmios (todas las impedancias están normalizadas con respecto a un sistema de 50 ohmios luego a 100 ohm / 50 ohm = 2). Al agregar un poco de longitud de una línea de transmisión entre su carga y su generador, gira en un círculo, está transformando su impedancia (eso sería Zin en su problema). El centro del círculo es el punto marcado como "1.0"

Ahora eche un vistazo a la siguiente tabla:

Usted ve que al simplemente girar en un círculo (que es agregar la longitud de un TL entre la carga y la fuente) nunca logro cruzar exactamente a través del punto 1.0, que es el centro y el Zin de 50 ohmios. que estas buscando. Los diferentes puntos que ve en el círculo son Zin para diferentes longitudes de un TL. Todos representan un número complejo con partes reales e imaginarias que no son cero.

Necesitas algo más para obtener la coincidencia completa de 50 ohmios (tal vez una tapa o inductor en paralelo junto con el TL). Hay técnicas para lograr esto, pero eso está más allá del alcance de lo que has visto hasta ahora.

Esperemos que eso explique un poco por qué no obtendrás un partido de 50 ohmios solo con el TL. Así que técnicamente, todavía puede encontrar qué om de esas longitudes dadas como posibles respuestas da como resultado el mejor escenario para la potencia, pero si está tratando de obtenerla de acuerdo con el teorema de potencia máxima (Zinternal = Zin), está fuera de suerte con solo el TL para que coincida completamente con el sistema.

Es una pregunta con trampa. La VSWR, la falta de coincidencia y la transferencia de potencia son las mismas para cualquier longitud de línea.

Una carga de 100 ohmios tiene un VSWR a una fuente de 50 ohmios, de 2: 1. Después de 1/4 de una longitud de onda de línea, los 100 ohmios se han transformado en 25 ohmios. Aún 2: 1 VSWR a la fuente de 50 Ohm. Después de 1/2 longitud de onda, 5 m, ha regresado a 100 ohmios. Lo mismo para todos los múltiplos de un cuarto de onda, y para cualquier otra longitud de línea, solo la impedancia será algo capacitiva o inductiva.

Tal vez el examinador tenía la intención de especificar una línea de 100 ohmios y una carga de 50 ohmios, entonces habría menos respuestas correctas.

Ahora para responder a tu pregunta real:

Estás resolviendo la ecuación equivocada. Para una transferencia de potencia máxima perfecta \ $ Z_L = Z_S ^ * \ $, (olvidó el conjugado). Divide ambos lados por 50, multiplica el denominador. Está claro que la ecuación no tiene solución. Esto se debe a que ninguna longitud de línea logrará una coincidencia perfecta . Tu suposición de partida es incorrecta.

En realidad, está buscando la transferencia de potencia máxima que se produce a lo largo de la longitud, por lo que necesita:

• escriba una expresión para la transferencia de energía, que sería la magnitud de \ $ \ Gamma = {(Z_L-Z_S)} / {(Z_L + Z_S)} \ $ where \ $ Z_L \ $ es la ecuación de la línea de transmisión que usaste anteriormente, y \ $ Z_S \ $ es la impedancia de la fuente, 50.
• o convertir \ $ \ Gamma \ $ a VSWR, que es casi lo mismo
• simplifica si te atreves
• diferenciar sobre \ $ l \ $, o incluso solo sobre su \ $ x \ $

Debería encontrar que \ $ | \ Gamma | \ $ no depende de la longitud de la línea, si tiene suerte puede eliminar \ $ tan (\ beta l) \ $ por completo en la simplificación.

Por lo tanto, todas las respuestas tienen la misma transferencia de potencia.

Las longitudes indicadas son, en el factor de velocidad 1, longitud de onda completa, mitad, cuarto y ocho.

Debido a que no coincidimos, es probable que queramos guardar lo que se puede ahorrar por la coincidencia de voltaje, por lo que queremos que la carga (¡incluida la línea de transmisión!) presente la impedancia más alta posible.

Aquí es donde ir a la línea de 5 m (media longitud de onda) será útil: esto siempre hace que la impedancia de carga aparezca 1: 1 en su entrada, por lo que estamos mirando a 100 ohmios. Esa es probablemente tu solución.

El 10m se comportará igual, pero tendrá un poco más de pérdida.

La línea de un cuarto de onda es inútil aquí, incluso si puede realizar una transformación de impedancia, una carga más alta que su impedancia específica siempre terminará transformada en una impedancia ABAJO, lo que parece ser la peor coincidencia aquí. >

Todo lo que pude encontrar acerca de las líneas de longitud de onda octava (1.25 m) sugiere que obtendría un comportamiento capacitivo en esa configuración, que probablemente depende de la capacitancia absoluta de la línea, ya que no se da, probablemente no pretende ser la respuesta.

La entrada de la línea coincide y la salida no. Hay una sola reflexión. El coeficiente de reflexión al final de la línea no depende de la longitud de la línea. La onda reflejada se hunde en la fuente debido a la coincidencia perfecta y la propagación sin pérdidas. = > La transmisión de potencia no depende en absoluto de la longitud de la línea en este caso. La falta de reflexiones secundarias garantiza que toda la energía que es absorbida por la carga de la ola venidera se toma en la primera reunión de la ola y la carga.

Tu error fue asumir que max. poder significa = emparejar. Empezaste a exigir lo imposible. La imposibilidad debería haber sido obvia al fin cuando la misma X no puede hacer que las partes real e imaginaria de la Z sean correctas al mismo tiempo.

Al solo cambiar la longitud de la línea, no puede obtener la coincidencia de impedancia completa como se demostró informalmente aquí, más formalmente en otras respuestas con el cuadro de Smith y también por el callejón sin salida de su propia prueba. No se permitieron otros métodos, así que acepta que max. potencia que está disponible al cambiar la longitud de la línea. En este caso, todas las longitudes son tan buenas.

La manera difícil, es decir, cómo obtener lo mismo con las ecuaciones: Supongamos un voltaje de fuente de entrada. Haga una fórmula para la potencia que es absorbida por la combinación de la línea y la carga. Todo esto es tomado por la carga porque la línea no disipa nada. También puede calcular la potencia de carga a partir de la onda de voltaje incidente y el coeficiente de reflexión. Finalmente, la longitud de la línea se elimina de la fórmula si puede manipular correctamente la expresión compleja.

OFFTOPIC: Otra respuesta sugirió que puede haber un error en el problema original. Se sugirió que tal vez las resistencias de terminación sean de 50 Ohm y la impedancia de línea = 100 Ohm. En ese caso la longitud de la línea afecta. La transferencia de potencia máxima sería la misma que con un sistema de 50 ohmios totalmente coincidente, si la longitud de la línea fuera un múltiplo de la mitad de la longitud de onda.

ADDENDUM: Los comentarios pelean. Hice una simulación. Mi línea es ideal, 50 ohmios y su retardo de propagación es de 0,1 microsegundos. Hice un barrido de frecuencia de 100 kHz a 20 MHz. Eso significa que se comprueban relaciones de longitud / longitud de onda de 0,1 a 2. La gráfica muestra una atenuación constante de la fuente de voltaje a la carga. La atenuación es de aproximadamente 3,5 dB, ya que uno puede calcular fácilmente a partir de las resistencias de 50 y 100 Ohm mediante la fórmula de división de voltaje.