En primer lugar, la Transformada de Laplace y la Transformada de Fourier surgen del mismo cuerpo de agua. Son más o menos lo mismo, y si tiene condiciones comunes al utilizar cualquiera de ellos, son lo mismo con \ $ s = j \ omega \ $. La transformada de Laplace unilateral es mejor para los problemas de circuito que se definen solo para \ $ t \ ge 0 \ $ y tienen condiciones iniciales porque existe un mecanismo conveniente para tratar esas condiciones iniciales en \ $ t = 0 \ $ con la transformada de Laplace unilateral.
La transformada de Laplace bilateral es más parecida a la transformada de Fourier (que siempre tiene una definición bilateral) con la sustitución de \ $ s = j \ omega = j2 \ pi f \ $.
Dicho esto, el problema anterior solo se puede resolver con la transformada de Fourier si el circuito, que está completamente "relajado" (tiene todas las condiciones iniciales iguales a cero) en \ $ t = 0 \ $, se modela como impulsado por un paso unitario de 1 voltio, en lugar de una entrada constante de 1 voltio. Si el circuito anterior estuvo conectado a 1 voltio en todo momento, no hay forma de que la corriente inicial, \ $ i (0) \ $ pueda ser cualquier cosa que no sea \ $ i (0) = \ frac {1 \ text {V}} {R} \ $. Si \ $ i (0) \ $ es igual a algo distinto a eso, debe representar la entrada para que sea una función de paso.
Luego, el otro problema con la Transformada de Fourier que el Laplace no tiene realmente, es que la Transformada de Fourier no converge bien para el paso de la unidad. A través de un método indirecto, la F.T. Se puede inferir un paso unitario, pero es natural con el Laplace. Así que con la F.T. tendría que representar el paso de la unidad como un caso límite de una función que sí tiene una F.T .:
$$ u (t) = \ lim _ {\ tau \ to + \ infty} \ begin {cases}
e ^ {- t / \ tau} \ qquad & \ text {if} t \ ge 0 \\
0 & \ text {if} t < 0 \\
\ end {cases} $$
para un \ $ \ tau \ $ finito, que tiene una F.T legítima y puedes resolver este sistema usando la F.T. para un \ $ \ tau \ $ finito, obtenga una respuesta y luego deje que \ $ \ tau \ $ vaya a \ $ \ infty \ $.
