La referencia es Desoer & Kuh, Teoría básica de circuitos .
Primero, notación y una expresión para potencia promedio Pav. Para una tensión sinusoidal vy corriente i a la misma frecuencia:
$$ v (t) = V_m cos (\ omega t + \ measuringangle {V}) = Re (Ve ^ {j \ omega t}) \ text {donde} V \ triangleq V_m e ^ {j \ measuringangle {V} } $$
$$ i (t) = I_m cos (\ omega t + \ measuringangle {I}) = Re (Ie ^ {j \ omega t}) \ text {donde} I \ triangleq I_m e ^ {j \ measuringangle {I} } $$
$$ p (t) = v (t) i (t) = \ frac {1} {2} V_mI_m cos (\ measuringangle {V} - \ measuringangle {I}) + \ frac {1} {2} V_mI_m cos (2 \ omega t + \ measuringangle {V} + \ measuringangle {I}) $$
Con un promedio de un período, la potencia promedio de Pav es:
$$ P_ {av} = \ frac {1} {2} V_mI_m cos (\ measuringangle {V} - \ measuringangle {I}) = \ text {Re} (\ frac {1} {2} V \ overline {I }) $$
Si V está relacionada con I por una impedancia compleja Z, V = IZ, entonces:
$$ P_ {av} = \ frac {1} {2} \ text {Re} (I \ overline {I} Z) = \ frac {1} {2} | I | ^ 2 \ text {Re} (Z ) $$
Con eso fuera del camino, en la maximización. Con el voltaje de fuente vs , el voltaje de carga vl y la corriente i como arriba, impedancia de fuente fija Zs = Rs + jXs , y la impedancia de carga a determinar Zl = Rl + jXl , la potencia promedio entregada a la carga Pav es:
$$ P_ {av} = \ frac {1} {2} | I | ^ 2 R_l $$
Desde
$$ I = \ frac {V_s} {Z_s + Z_l} $$
se deduce que
$$ P_ {av} = \ frac {1} {2} | V_s | ^ 2 \ frac {R_l} {| Z_s + Z_l | ^ 2} = \ frac {1} {2} | V_s | ^ 2 \ frac {R_l} {(R_s + R_l) ^ 2 + (X_s + X_l) ^ 2} $$
Ahora puede maximizar esta expresión diferenciando por separado con respecto a las partes imaginarias y reales de Zl:
- Con respecto a Xl, que solo aparece en una ubicación, el máximo se alcanza en Xl = -Xs.
- Con respecto a Rl, que aparece en dos ubicaciones, el máximo se alcanza en Rl = Rs.
Entonces, para una entrega de potencia máxima, establezca Zl en:
$$ Z_ {l, opt} = R_s-jX_s = \ overline {Z_s} $$
La potencia promedio máxima entregada a esa carga es:
$$ P_ {av, max} = \ frac {| V_s | ^ 2} {8R_s} $$