El voltaje de salida v es el resultado de la integración dos veces. Entonces, todo lo que estaba antes de las etapas de integración es d ^ 2 v / dt ^ 2 por definición. Dado que ese nodo está fuertemente impulsado por la etapa de ganancia inversora, también debe ser -9 v . De ahí la ecuación diferencial del título de la figura.

¿Quizás la conexión sea más fácil de hacer si convierte la ecuación diferencial en la ecuación integral equivalente al integrar ambos lados dos veces?

Este no es un ejercicio trivial para principiantes y los autores lo están tentando a que amplíe sus habilidades analíticas. PERO HAN ALGUNOS ERRORES.

Como la mayoría verá, este es un oscilador de bucle cerrado con 3 inversores e integradores de 2 polos para hacer un total de 4 * 180 grados de inversión convirtiéndose en un oscilador de retroalimentación positiva. Sin embargo, decaerá lentamente ya que el margen de fase nunca llega a 0 en la ganancia de bucle de 0dB.

Sí, son dos integradores con una retroalimentación de ganancia lineal, por lo que la salida de la derecha se está integrando. Pero la retroalimentación negativa controla la ganancia de bucle, de modo que la amplitud de la condición inicial de 6 V se reduce en la raíz cuadrada de 6 V, mientras que la frecuencia aumenta en la raíz cuadrada de la ganancia de retroalimentación (-9).

Un mejor ejemplo si desea obtener una notoriedad y dar a los 3 autores algún comentario negativo (corrija lo siguiente)

El texto de salida "\ $ v = 2sin ~ 3t ~ V \ $" está en radianes, mal
Podría leer $$ v (t) = ~ - ~ \ dfrac {V_ {bat}} {\ sqrt {G}} ~ sin ({\ dfrac {\ sqrt {G} ~ t} {2 \ pi RC ~} )} $$

No + pecado pero - pecado pero ahora en radianes así,

v () = - 6 / √9 sin (√9 θ / 1) = -1.5 sin 3θ ~ (ya que θ = t / 2π y \ $ ω_n = 2πf_n = 1 / RC \ $)

• y no v = 2 sin3t que está mal

Si hacemos la | ganancia | cambia de 9 a 1 con Rin = Rf = 90k, la salida del oscilador ahora es $$ v (θ) = - Vbat * sin (θ) $$

Luego, al cuadrar la "t" en radianes se obtiene la respuesta en radianes (argh) con constantes para Batería = 6 y G = Rf / Rin = 9.

El editor lo recorta demasiado y preferimos trabajar con frecuencia en lugar de radianes.

¡Escribe las relaciones, eso es todo!

Como uso para un primer intento, tome opamps ideales , eso significa que tienen una resistencia de entrada infinita, resistencia de salida cero, ganancia infinita y ancho de banda infinito - > opamp ideal .

Comience por anotar el comportamiento de un condensador, que necesitará más adelante:

0 $$ i_C = \ cfrac {du_c} {dt} \, $$

te permite encontrar fácilmente la ecuación adecuada. Utilizando un opamp ideal, la corriente en el bucle se mantiene igual, no importa si es una resistencia o un condensador.

Todos los opamps se utilizan en un modo de inversión: invertir el integrador y el amplificador de inversión.

Por lo tanto, las 3 ecuaciones necesarias para resolver el problema son:

$$ \ cfrac {v_1} {1M} = - 1 \ mu F \ cdot \ cfrac {d v_2} {dt} \ qquad (1), \\ \ cfrac {v_2} {1M} = - 1 \ mu F \ cdot \ cfrac {d v_3} {dt} \ qquad (2), \\ \ cfrac {v_1} {90k} = - \ cfrac {v_3} {10k} \ qquad (3). $$

Resolviendo estas ecuaciones para v_3, con 1Mohm * 1uF = 1s, produce:

$$ \ cfrac {d ^ {2} v_3} {dt ^ 2} = - 9 \ cdot v_3 \, \ quad (4). $$

Usando la respuesta armónica

$$ v_3 = e ^ {j \ cdot \ omega_0 \ cdot t} $$

y úsalo en (4), leds para

$$ v_3 \ cdot \ omega_0 ^ 2 = 9 \ cdot v_3 \, \\ \ omega_0 = 3 \,. $$

Por lo tanto, la solución es (ignorar el comportamiento transitorio)

$$ v_3 = A \ cdot \ sin (3 \ cdot t + \ varphi_0) \, \ quad (5), $$

donde A y phi_0 se obtienen al resolver la ecuación diferencial no armónica (la condición inicial es V_c = 6V).

En t = 0, la tensión de salida v_3 = 0, por lo tanto

$$ \ varphi_0 = 0 \,. $$

La diferenciación adicional de v_3 (que es igual a v_2) da como resultado

$$ v_2 = - \ cfrac {dv_3} {dt} = - 3 \ cdot A \ cdot \ sin (3 \ cdot t) \,. $$

Dado que la salida del integrador 1 (v_2) en t = 0 es -6V (condición inicial), tienes

$$ -6 \, V = -3 \ cdot A \, \\ A = 2 \,. $$

Por lo tanto, el resultado es:

$$ \ bbox [5px, borde: 2px rojo sólido] { v_3 = 2 \ cdot \ sin (3 \ cdot t) \, \ qquad (6).} $$

Por lo tanto, por extraño que sea, la frecuencia del oscilador puede ajustarse por la ganancia del amplificador inversor.