Análisis del circuito de escalera lineal

Si entiendo el diagrama, I es la corriente a través de la resistencia de 1 Ohm en el extremo derecho del esquema.

Lo que dicen es, supongamos que I es 1 A. Ahora sabe, por ejemplo, el voltaje en el siguiente nodo a la izquierda es 3 V. Y tiene una corriente de 1 A a través de Resistencia de 3 ohmios. Ya que tiene 2 A a través de los últimos dos peldaños de la escalera, debe tener 4 V a través del resistor de 2 Ohmios desde la derecha (vea cuánto más fácil sería si solo ponga designadores en su esquema ?). Y así sucesivamente, volviendo a la izquierda.

Ahora, cuando regreses a la fuente, obtendrás un voltaje diferente a 7 V. Supongamos que obtienes 21 V (no he calculado, acabo de hacer un número).

Dado que el sistema es lineal, usted sabe que si reduce este voltaje a 7 V, la corriente I también se reducirá en un factor de 3, por lo que el I es 333 mA, no el 1 A que asumió originalmente.

Me gusta volver a dibujar el circuito:

Suponiendo que todas las corrientes fluyen hacia abajo a través de las resistencias:

\ begin {equation} i_ {10} = i_ {6} + i_ {8} + i \\ i_ {1} = i_ {2} + i_ {4} + i_ {10} \ end {ecuación}

Mirando la resistencia equivalente de R9 y R11, podemos decir que la misma corriente fluye a través de esa rama que a través de R8 (2 + 1 = 3).

\ begin {equation} i_ {8} = i \\ i_ {7} = 2 \ cdot i \\ i_ {10} = i_ {6} + 2 \ cdot i \ end {ecuación}

Obteniendo la resistencia equivalente de R7, R8, R9 y R11. Podemos calcular rápidamente que esto sea de 3.5 ohmios. Dado que esta es la mitad de la resistencia de R6, sabemos que el doble de la corriente fluye a través de R7 que a través de R6.

\ begin {equation} i_ {6} = \ frac {i_7} {2} = i \\ i_5 = i_ {10} = 3 \ cdot i \ end {ecuación}

Ahora obtengamos la resistencia equivalente de R5, R6, R7, R8, R9, R10 y R11. Ya sabemos que R7, R8, R9 y R11 son 3.5 ohmios, y en paralelo con 7 ohmios adicionales de R6 que nos dan 7/3 ohmios. Luego, agregue en la serie R5 y R10 nos da 16/3 ohmios.

Dado que la corriente se distribuirá entre los dos brazos en relación con su resistencia,

\ begin {equation} i_ {4} \ cdot R_4 = \ frac {16} {3} \ Omega \ cdot i_5 \\ i_ {4} = \ frac {4} {3} \ cdot 3 \ cdot i = 4 \ cdot i \\ i_3 = i_4 + i_5 = 7 \ cdot i \ end {ecuación}

Repitiendo de nuevo, obtenemos la resistencia equivalente para las resistencias R3-R11.

\ begin {equation} R_ {3-11} = R_3 + \ left (\ frac {1} {R_4} + \ frac {3} {16} \ right) ^ {- 1} = 2 + \ frac {16} {7} = \ frac {30} {7} \ Omega \ end {ecuación}

Ahora enjuague y repita el paso de distribución actual.

\ begin {equation} i_ {2} \ cdot R_2 = \ frac {30} {7} \ Omega \ cdot i_3 \\ i_ {2} = \ frac {6} {7} \ cdot 7 \ cdot i = 6 \ cdot i \\ i_1 = i_2 + i_3 = 13 \ cdot i \ end {ecuación}

Ahora es el momento de obtener la resistencia equivalente completa:

\ begin {equation} R_ {eq} = R_1 + \ left (\ frac {1} {5} + \ frac {7} {30} \ right) ^ {- 1} = 2 + \ frac {30} {13} = \ frac { 56} {13} \ Omega \ end {ecuación}

Luego, usando nuestra ley básica de Ohm:

\ begin {equation} Vs = i_1 \ cdot R_ {eq} = 13 \ cdot i \ cdot \ frac {56} {13} = 56 \ cdot i \ end {ecuación}

Con Vs = 7V, \ $ i = \ frac {7} {56} = \ frac {1} {8} = 0.125A \ $.

No asumí que i = 1A, pero si lo hiciera al final, habría terminado con algunas Vs = 7V. En su lugar, habría obtenido Vs = 56V para obtener i = 1A.

La escala se puede hacer dividiendo la tensión objetivo por la tensión escalada, y de la misma manera para la corriente objetivo y la tensión escalada:

\ begin {equation} \ frac {7V} {56V} = \ frac {i_ {actual}} {1A} \\ i_ {actual} = 0.125A \ end {ecuación}

Cuál es la misma respuesta (como se esperaba).