En los sistemas de comunicación electrónica, existe un concepto llamado frecuencia central. Un filtro de paso de banda tiene frecuencias de corte superior e inferior. La frecuencia central se supone que está en medio de estos.
¿Por qué la frecuencia central de un filtro de paso de banda viene dada por el promedio geométrico de las dos frecuencias de corte en lugar del promedio aritmético?
editar: encontré una explicación muy completa: enlace
¿Por qué la frecuencia central de un filtro de paso de banda viene dada por el promedio geométrico de las dos frecuencias de corte en lugar del promedio aritmético?
Debido a que son las proporciones que son relevantes, no los incrementos.
Por ejemplo, si tiene un filtro de paso de banda de 2 kHz a 20 kHz, cubre un rango de 10: 1. El centro está a mitad de camino entre estos en términos de relación, que es la (raíz cuadrada de 10) = 3.16. Esto pone la frecuencia central en (2 kHz) * 3.16 = 6.32 kHz. La habitación entre el centro y ambos extremos es la misma:
(20 kHz) / (6.32 kHz) = 3.2
(6.32 kHz) / (2 kHz) = 3.2
Bueno, una respuesta simple es que no puedes hacer una frecuencia central de 100 Hz con un ancho de banda de 3 dB de 200 Hz porque te chocas con DC. Hay que tratarlo logarítmicamente. Habiendo dicho que muchos filtros de paso de banda están muy "ajustados" y numéricamente hay poca diferencia entre el hecho de que la frecuencia de cetre esté en el medio o \ $ \ sqrt {f_1.f_2} \ $
A continuación, trato de describir la manera de derivar la fórmula deseada (valor de la media geométrica).
Comience con la clásica función de paso de banda de segundo orden (que incluye el factor de calidad del polo del parámetro Qp y la frecuencia del polo wp).
Reemplace la variable w por wc (corte 3dB) y, al mismo tiempo, establezca la magnitud de la función de transferencia en A = Amax / SQRT (2).
Como resultado, tienes una ecuación cuadrática para wc que se puede resolver.
El resultado es una ecuación para las dos frecuencias de corte de la forma:
wc1 = -X + SQRT (X² + wp²) y wc2 = + X + SQRT (X2 + wp²) con X = wp / 2Qp .
Es fácil mostrar que wc1*wc2=wp²
Tenga en cuenta que wp = wo (la frecuencia de los polos es idéntica a la frecuencia de banda media).
EDIT 1: olvidé mencionar que la ganancia máxima de Amax en la frecuencia central es la proporción del numerador y el término medio (jw) del denominador (porque los términos más a la izquierda y más a la derecha se cancelan entre sí en w = wp).
EDIT 2: Aquí se presenta una explicación más descriptiva del hecho de que la distancia de ambas frecuencias de corte (wc1, wc2) a la frecuencia central wo es diferente:
La función de transferencia de paso de banda es cero para (a) frecuencias infinitas, así como (b) para w = 0. Está claro que el "camino" desde la frecuencia central hasta las frecuencias infinitas es mucho más grande (infinito) si se compara con la distancia a w = 0.
Eso significa que: la disminución de la magnitud en la dirección a las frecuencias más grandes es "más suave" que en la dirección a w = 0. Por esta razón, la diferencia de frecuencia entre la frecuencia de corte superior wc2 y la frecuencia central wo (wc2-wo) es mayor que la diferencia (wo-wc1).
Por esta razón (sin simetría a ambos lados de wo) la frecuencia central wo NO es el valor aritmético promedio de ambas frecuencias de corte. (La gráfica de la magnitud de la función de transferencia vs. frecuencia se ve simétrica solo en el caso de una escala de frecuencia logarítmica):
wo=wp=SQRT(wc1*wc2)
log(wo)=[log(wc1)+log(wc2)◆/2
Lo importante es que los filtros generalmente se representan mediante una escala de frecuencia logarítmica (piense, por ejemplo, en los gráficos de Bode). Veamos en qué se convierte la media aritmética en una escala logarítmica:
$$ \ frac {\ log (f_a) + \ log (f_b)} {2} = \ frac {\ log (f_a.f_b)} {2} = \ log \ sqrt {f_a. f_b} $$
Ahí lo tienes: el promedio aritmético de logaritmos es equivalente al logaritmo del promedio geométrico.