Encontrar la frecuencia de corte

La frecuencia de caída de un filtro R-C es:

F = 1 / (2πRC)

Cuando R está en Ohms, C en Farads, entonces F está en Hz.

Por lo tanto para obtener la capacitancia:

C = 1 / (2πFC) = 1 / [2π (100 Hz) (10 kΩ)] = 160 nF

Sí, es realmente tan fácil.

Los cálculos del filtro de reducción de R-C suben mucho en electrónica. Mantengo 1 / 2π permanentemente en un registro en mi calculadora. Luego puedo dividir eso por dos de la frecuencia, capacitancia o resistencia para obtener el tercero.

Desde la función de transferencia, terminé con una respuesta bastante interesante:

$$ H (j \ omega) = \ frac {j \ omega C_1 R_1} {j \ omega C_1 (R_1 + R_2) + 1} $$

$$ abs (H) = \ frac {\ omega C_1 R_1} {\ sqrt {\ left (\ omega C_1 (R_1 + R_2) \ right) ^ 2 + 1}} $$

Búsqueda de la frecuencia de corte (paso a paso, por lo que no disparamos):

$$ \ frac {\ omega_0 C_1 R_1} {\ sqrt {\ left (\ omega_0 C_1 (R_1 + R_2) \ right) ^ 2 + 1}} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} $$

$$ \ frac {(\ omega_0 C_1 R_1) ^ 2} {\ left (\ omega_0 C_1 (R_1 + R_2) \ right) ^ 2 + 1} = \ frac {1} {2} $$

$$ (\ omega_0 C_1 R_1) ^ 2 = \ frac {\ left (\ omega_0 C_1 (R_1 + R_2) \ right) ^ 2 + 1} {2} $$

$$ (\ omega_0 C_1 R_1) ^ 2 - \ frac {\ left (\ omega_0 C_1 (R_1 + R_2) \ right) ^ 2} {2} = \ frac {1} {2} $$

$$ (\ omega_0 C_1) ^ 2 \ left (R_1 ^ 2- \ frac {\ left (R_1 + R_2 \ right) ^ 2} {2} \ right) = \ frac {1} {2} $ $

$$ \ omega_0 C_1 = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ left (R_1 ^ 2- \ frac {\ left (R_1 + R_2 \ right) ^ 2} {2} \ right)}} $ $

$$ \ omega_0 C_1 = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ left (R_1 ^ 2- \ frac {R_1 ^ 2 + 2R_1R_2 + R_2 ^ 2} {2} \ right)}} $$

$$ \ omega_0 = \ frac {1} {C_1 \ sqrt {R_1 ^ 2-2R_1R_2-R_2 ^ 2}} $$

No llegué a la muy conocida fórmula de su libro, pero parece ser incorrecta para esta aplicación. Solo podía apostar que el que escribió la solución simplemente la arruinó. O lo hice. De cualquier manera, están mis dos centavos.

Para este tipo de circuito, la frecuencia de corte no está en Vin / Vin = 0.707 . Debido a que R1 y R2 forman un divisor de voltaje, y la "ganancia de banda media" (máximo de Vout) es igual a R2 / (R1 + R2) = 0.9 [V / V] , por lo tanto, el corte la frecuencia está en 0.9 * 0.707 = 0.636 (la frecuencia en la que la magnitud de Vout es 3dB menor que el máximo de Vout).

Y esta es la razón por la que el lado derecho de la ecuación debería tener este aspecto: $$ \ frac {R2} {R1 + R2} * \ frac {1} {\ sqrt {2}} = \ frac {R2} {(R1 + R2) \ sqrt {2}} $$

$$ \ frac {\ omega_0 C_1 R_1} {\ sqrt {\ left (\ omega_0 C_1 (R_1 + R_2) \ right) ^ 2 + 1}} = \ frac {R2} {(R1 + R2) \ sqrt {2}} $$.

Pero hay un método más simple para encontrar la frecuencia de corte. 1 - Encontrar el polo directamente desde la función de transferencia

$$ H (s) = \ frac {sC_1R_2} {sC_1 (R_1 + R_2) +1} $$

Y para este tipo de circuito podemos hacerlo por inspección.

2 - Podemos encontrar una constante de tiempo del circuito. En este caso, la constante de tiempo es \ $ \ t = C1 * (R1 + R2) \ $ y \ $ \ \ Large Fc = \ frac {1} {2 * \ pi * t} \ $