Prólogo: Me gusta la respuesta de Meenie Leis. Hay solo algunos problemas menores de formato, pero la fruta está ahí para ser tomada. Pero si está presentando maní a alguien que es alérgico al maní, entonces tiene que probar las manzanas o alguna otra fruta. Así que Yo reconozco que la respuesta de Meenie es buena.
Aquí está mi intento de dar manzanas.
Así que queremos la respuesta de impulso de la siguiente función, que es el resultado de una función escalonada.
\ $ s (t) = (1 − e ^ {\ frac {-t} {RC}}) u (t) \ $
En otras palabras, queremos transformar nuestro \ $ s (t) \ $ en \ $ S (s ) \ $ , multiplica por \ $ s \ $ , y luego vuelve a transformar a \ $ s (t ) \ $ .
Según la laplace table desde aquí, las siguientes transformaciones importantes se puede hacer:
\ $
\ begin {array} {l l l}
e ^ {- at} & \ mathcal {L} & \ frac {a} {s + a} \\
\ text {u (t) & 1} & \ mathcal {L} & \ frac {1} {s} \\
\ end {array}
\ $
También sabemos lo siguiente:
\ $
\ begin {array} {l l l}
a (t) * b (t) & \ mathcal {L} & A (s) B (s) \\
a (t) b (t) & \ mathcal {L} & A (s) * B (s) \\
\ end {array}
\ $
donde \ $ * \ $ significa convolución.
Así que de inmediato tenemos una multiplicación en el dominio del tiempo que resulta en una convolución en el dominio de Laplace. Pero si miramos en el lado izquierdo, dice que \ $ \ text {u (t) & 1} \ $ da el mismo resultado. En otras palabras, podemos reemplazar el \ $ u (t) \ $ por un 1. Agradable.
Nota: esto solo es posible con las transformadas de Laplace de doble cara, por lo que no siempre puedes hacer este truco .
Entonces, transformemos a Laplace la siguiente ecuación:
\ $ 1 − e ^ {\ frac {-t} {RC}} ~~~~
\ mathcal {L} ~~~~
\ frac {1} {s} - \ frac {1} {s + \ frac {1} {RC}} \ $
Y vamos a multiplicar por \ $ s \ $
\ $
\ begin {align}
s \ bigg (\ frac {1} {s} - \ frac {1} {s + \ frac {1} {RC}} \ bigg)
& = 1- \ frac {s} {s + \ frac {1} {RC}} \\\\
& = \ frac {s + \ frac {1} {RC}} {s + \ frac {1} {RC}} - \ frac {s} {s + \ frac {1} {RC}} \\\\
& = \ frac {s + \ frac {1} {RC} -s} {s + \ frac {1} {RC}} \\\\
& = \ frac {\ frac {1} {RC}} {s + \ frac {1} {RC}} \\\\
& = \ frac {1} {RC} \ frac {1} {s + \ frac {1} {RC}} \\
\ end {align}
\ $
Vamos a marcar cosas muy importantes.
\ $ \ color {red} {\ frac {1} {RC}} \ color {verde} {\ frac {1} {s + \ frac {1} {RC }}} \ $
La primera parte, en rojo, es solo un escalar. Así que solo tenemos que transformar la parte verde.
\ $
\ color {rojo} {\ frac {1} {RC}} \ color {verde} {\ frac {1} {s + \ frac {1} {RC}}} ~~~~
\ mathcal {L} ^ {- 1} ~~
\ color {rojo} {\ frac {1} {RC}} \ color {verde} {e ^ {\ frac {-t} {RC}}} \ $
La función original tenía una función heaviside asociada. Esto significa que el derivado es 0 para t < 0. Entonces el derivado será 0 para t < 0 y lo que sea para t > = 0. Entonces simplemente adjuntemos la función heaviside debido a la ecuación original.
Entonces, ir al dominio laplace, multiplicar por \ $ s \ $ , y luego regresar al dominio de tiempo te da la siguiente respuesta: \ $ \ frac {1} {RC} e ^ {\ frac {-t} {RC}} u (t) \ $
Esa respuesta coincide con la opción C.