¿Por qué usar números complejos para representar la amplitud y la fase de AC?

Cita: "¿Es puramente desde un punto de vista matemático facilitar el análisis de los circuitos?"

No estoy seguro si esta parte de la pregunta ya fue respondida suficientemente. Por lo tanto: Sí, el uso de matemáticas complejas para describir señales sinusoidales no tiene una relevancia física directa. Es sólo para "facilitar los análisis".

Como ejemplo: la introducción de la famosa fórmula de Euler para las señales sinusales en la serie de Fourier conduce a frecuencias negativas (simétricas a frecuencias positivas). Por lo tanto, surge la pregunta: ¿Existen las frecuencias negativas en la realidad? ¡La respuesta es no! Es sólo una herramienta matemática útil.

En realidad, la motivación es bastante simple.

Cuando tienes un circuito lineal y lo estimulas con una sola frecuencia, dondequiera que mires, siempre encontrarás la misma frecuencia, solo la amplitud y la fase de la onda que mides cambian.

Lo que hagas es decir bien, olvidemos la frecuencia. Si hago un seguimiento de la amplitud y la fase de los voltajes y / o corrientes alrededor del circuito, será más que suficiente. Pero, ¿cómo puedes hacer eso? ¿No hay alguna herramienta matemática que te permita realizar un seguimiento de la amplitud y la fase? Sí, lo tienes: vectores. Un vector tiene una amplitud, es decir, su longitud, y una fase, es el ángulo que forma con el eje x, la dirección ccw es positiva.

Ahora puedes objetar bien, los vectores son geniales, ¿pero no hay nada más cool? ¿Y por qué necesitamos usar la unidad imaginaria?

La respuesta a la segunda pregunta es fácil: hacer cálculos con vectores es un gran dolor, un dolor de notación:

$$ \ pmatrix {2 \\ 3} + \ pmatrix {1 \\ 7} = \ pmatrix {3 \\ 10} $$

Y eso es además solo! Bueno, eso es solo un problema de notación, si elegimos otra base de \ $ \ mathbb {R} ^ 2 \ $ las cosas pueden ser mejores ... Y esta base existe, pero requiere la unidad imaginaria \ $ j \ $. El lío anterior se convierte en: $$ 2 + 3j + 1 + 7j = 3 + 10j $$ Mucho más fácil, ¿no?

Bien, pero ¿qué tiene un vector imaginario en común con un voltaje? Bueno, trate de imaginar el plano de Gauss, el eje x es el eje real, el eje y es el imaginario.

Una tensión puede representarse mediante un vector centrado en el origen, cuya longitud es igual al valor de la tensión, y su ángulo de inicio es igual a la fase. Ahora el truco de magia: comienza a rotar el vector para que su velocidad angular \ $ \ omega \ $ se corresponda con la frecuencia deseada:

Bam.Esoesloquellamamosun phasor , y ese pequeño es el arma más poderosa que tienes contra los circuitos difíciles.

Entonces, ¿por qué estos fasores son especiales? Eso es porque si tomas dos voltajes reales: $$ v_1 (t) = V_1 \ cos (2 \ pi f_0t + \ theta_1) \\ v_2 (t) = V_2 \ cos (2 \ pi f_0t + \ theta_2) $$ y desea sumarlos, sucede que si suma los fasores correspondientes y luego vuelve al dominio real el resultado es el mismo . Por supuesto, esto no es mágico, depende de la afinidad matemática entre los cosinusoides y el exponencial complejo . Solo créeme, o crea esta imagen genial:

Ylomejoresquetodoselanálisisdecircuitorealquehaestudiadohastaahorasiguetrabajandoconfasoreseimpedanciascomplejas.Esoes:LaleydeOhmsecumpleconlosfasoresylasimpedanciascomplejas,yesoesgenial,yaquetenemosunmontóndeherramientaspararesolvercircuitosquesebasanenlasleyesdeOhmyKirchhoff,yaúnpodemosusarlas.

Conlosfasorestomarladerivada/laintegracióntambiénessúperfácil:comosaben,yaqueestamoshablandodesenosycosenostodosconlamismafrecuenciaessolounacuestióndecambiodefase,yeso-lasorpresa-esmuyclarasiutilizalarepresentaciónexponencialcompleja.

TL;DR:Lassinusoidesserepresentancomovectoresgiratoriosenelplanopolar,esmuyparecidoadetenereltiempomientrasgiranytomanunafoto,esdecir,calculanlasrelacionesdefaseyamplitud.Soloechaunvistazoalapáginade phasor en wikipedia. Y marque esta otra respuesta más concisa.

Lo principal a tener en cuenta es que cualquier señal periódica (con algunas restricciones analíticas básicas que se aplican en la práctica o se aplican a un grado arbitrario, si no exactamente) puede representarse como una suma de señales de seno y coseno con una frecuencia que es un múltiplo del periodo de la señal.

Ahora, una vez que abandone el reinado de la respuesta directa (como las resistencias), la energía se puede almacenar y recuperar. Las bobinas almacenan energía magnética (la tensión y la corriente de aplicación solo comienzan gradualmente pero continúan cuando la tensión se descompone), los condensadores almacenan la energía eléctrica (la corriente y la tensión de aplicación solo comienzan gradualmente pero continúa cuando la corriente se descompone), las masas convierten la fuerza gradualmente en impulsos Los resortes convierten gradualmente el impulso en fuerza y así sucesivamente.

Muchas formas de poder son básicamente el cuadrado de alguna medida de excitación. Ahora resulta que la suma de los cuadrados del seno y el coseno del mismo argumento es 1. Una constante. Así que estás muy bien describiendo la conversión periódica de energía usando senos y cosenos.

Resulta que el álgebra que usa senos y cosenos es tenue. Si agrega un término imaginario que representa la forma de energía de su señal periódica que no le interesa, y descarta cualquier parte imaginaria que quede después de que termine, las manipulaciones algebraicas se vuelven mucho más directas a costa de que las variables reales sean complejas .

Digamos que tenemos un circuito simple con una fuente de voltaje \ $ v (t) = Vcos (\ omega t + \ phi) \ $ conectado en serie con una bobina inductiva con inductancia \ $ L \ $. Entonces,

$$ v (t) = Re \ {Ve ^ {j (\ omega t + \ phi)} \} = L \ frac {di} {dt} \\ Re \ {Ve ^ {j (\ omega t + \ phi)} \} \ dt = L \ di \\ \ int Re \ {Ve ^ {j (\ omega t + \ phi)} \} \ dt = L \ int \ di \\ Re \ {\ int Ve ^ {j (\ omega t + \ phi)} \ dt \} = L i (t) \\ Re \ {\ frac {1} {j \ omega} Ve ^ {j (\ omega t + \ phi)} \} = Li (t) \\ i (t) = Re \ {\ frac {1} {j \ omega L} Ve ^ {j \ phi} e ^ {j \ omega t} \} $$

¿Qué nos compra esto? Bueno, podemos simplemente tratar la bobina como una resistencia con valor \ $ j \ omega L \ $ Entonces podríamos reemplazar \ $ v (t) \ $ con la constante \ $ v_o = Ve ^ {j \ phi} \ $. En este circuito simplificado usamos la ley de ohm para encontrar \ $ i_o = \ frac {v_o} {R} = \ frac {v_o} {j \ omega L} \ $. Luego, para encontrar el valor real de \ $ i (t) \ $ simplemente multiplicamos \ $ i_o \ $ con \ $ e ^ {j \ omega t} \ $ y tomamos su parte real. Esto se puede extender a todos los componentes pasivos. Por lo tanto podemos modele todas las cantidades alternativas con números complejos, simplificando todo Cálculos en el proceso. Luego podemos cambiarlos de nuevo a su forma no compleja cuando sea necesario.

Supongo que estamos de acuerdo en que son dos piezas de información para representar una señal de CA en cualquier instante, amplitud y fase, mientras que su es solo la amplitud para DC.

No es solo el análisis donde necesitamos manipular la información, sino también el diseño de los circuitos. Los componentes tienen impedancia, y afectan a las señales de CA. Entonces, cuando estamos diseñando, necesitamos poder calcular las impedancias para diseñar un circuito con propiedades de CA específicas.

Los números complejos son convenientes para representar y calcular tanto las señales de CA como la impedancia. Las dos dimensiones, longitud y ángulo, nos permiten calcular la amplitud y la fase juntas, y mantenerlas consistentes.