Una señal que puede transformarse por la transformada de Fourier y su frecuencia

Al igual que El fotón dice que es la frecuencia más baja que no es cero, se llama fundamental y los demás armónicos son múltiplos enteros de la misma. Eso significa que lo fundamental es la frecuencia con el período más largo en la señal.

EstaseñalAMeselproductodedosfrecuencias,unafrecuenciadeseñaldebandabasebajayunafrecuenciademodulaciónmásalta,queenestecasoesexactamente10veceslafrecuenciadebandabase.Elperíododelaseñaleselperíododelafrecuenciamásbajaysuinversoeslafrecuenciadelfundamental.Lafunciónes(3+sin(\$\omega_0\$))\$\veces\$sin(\$\omega_m\$).Desde

\$sin(x)\vecessin(y)=\dfrac{cos(x-y)-cos(x+y)}{2}\$

tenemos

\$V_t=3\cdotsin(\omega_mt)+\dfrac{cos(\omega_mt-\omega_0t)}{2}-\dfrac{cos(\omega_mt+\omega_0t)}{2}\$

y,con\$\omega_m\$=10\$\times\$\$\omega_0\$

\$V_t=3\cdotsin(10\cdot\omega_0t)+\dfrac{cos(9\cdot\omega_0t)}{2}-\dfrac{cos(11\cdot\omega_0t)}{2}\$

quesepuedeescribirenlaformaestándardelaseriedeFourier:

\$V_t=-\dfrac{1}{2}sin(9\cdot\omega_0t-\dfrac{\pi}{2})+3\mbox{}sin(10\cdot\omega_0t)+\dfrac{1}{2}sin(11\cdot\omega_0t-\dfrac{\pi}{2})\$

Paraunaseñalderepetición,lafrecuenciadelafundamentalesmayorquecero,ylosarmónicossemuestranenelespectrocomolíneasespaciadasiguales.Paraunaseñalnorepetitiva,ellímitedelperíododelaseñalvaa\$\infty\$,demodoquelafrecuenciadelafundamentalvaa\$\displaystyle\lim_{f\a0}\$,yseformalaseriedearmónicos.unespectrocontinuo.

Hicelasiguienteobservaciónen esta respuesta :

  

"A veces es difícil ver el seno fundamental en él. Tomemos, por ejemplo, la suma de un seno de 3Hz y un seno de 4Hz. La forma de onda resultante se repetirá una vez por segundo, eso es 1Hz. El 1Hz es el fundamental, incluso si es la amplitud es cero. La serie se puede escribir como

     

\ $ V_t = 0 \ cdot sin (\ omega_0 t) + 0 \ cdot sin (2 \ omega_0 t) + sin (3 \ omega_0 t) + sin (4 \ omega_0 t) \ $

     

Todos los siguientes términos también tienen amplitud cero.

¿Por qué la frecuencia fundamental es 1Hz y no 0.5Hz, por ejemplo? 3Hz y 4Hz también son múltiplos de eso. El fundamental es el mayor divisor común de los armónicos de composición, y el GCD de 3 y 4 es 1. Si elige una frecuencia más baja, su período mostrará una repetición de la señal, dos veces en el caso de 0.5Hz.

  

Una nota en GCD
  Se ha sugerido que GCD solo se aplica a enteros, como en el ejemplo dado. Sin embargo, GCD también se puede aplicar a los racionales. Encontré que la definición \ $ GCD \ left (\ dfrac {a} {b}, \ dfrac {c} {d} \ right) = \ dfrac {GCD (a \ cdot d, c \ cdot b)} {b \ cdot d} \ $ parece funcionar, y se ha confirmado que es el método correcto.

Tenga en cuenta que también en el ejemplo de AM, la amplitud de la fundamental es cero. La señal modulada solo consiste en los armónicos 9, 10 y 11. GCD (9 \ $ \ omega_0 \ $, 10 \ $ \ omega_0 \ $, 11 \ $ \ omega_0 \ $) = \ $ \ omega_0 \ $.

La transformada de Fourier proporciona, como usted dijo, los "contenidos de frecuencia" de la señal. La señal tiene contenido en todas de las frecuencias donde la transformación no es cero.

Si la señal original es periódica, su transformada de Fourier tendrá picos o picos característicos en la frecuencia de oscilación de la señal y sus armónicos. Por ejemplo, si la señal es repetitiva con la frecuencia f , la transformada de Fourier tendrá picos en f , 2 * f , 3 * f , etc. Dependiendo de la naturaleza de la señal, algunos de estos picos podrían faltar (por ejemplo, una onda sinusoidal pura solo mostrará la frecuencia fundamental, una onda cuadrada solo tendrá armónicos impares, etc.) )

Entonces, para una señal periódica, podría decir que la frecuencia de oscilación de la señal es la frecuencia más baja de la transformada de Fourier, no la más alta.

Editar: Como señalan Stevenvh y Teleclavo, es posible que los picos faltantes incluyan lo fundamental. Incluso es posible que haya muchos picos faltantes por debajo del primero observado en el espectro. Por ejemplo, tome una onda cuadrada de 1 Hz con bordes ascendentes extremadamente rápidos (por ejemplo, 10 ps). Ahora aplique un filtro de paso alto con corte a 1 GHz. Dependiendo de qué tan afilado sea el filtro, es posible que no vea una salida por debajo de 10 MHz y una serie de picos a intervalos de 1 Hz desde allí hasta 10 GHz, lo que significa que los primeros 10 millones de armónicos están ausentes. pero el período de repetición permanece 1 s.

Y también es posible tener una señal aperiódica que tenga un espectro compuesto de múltiples picos. Mi respuesta se refiere a los casos en los que tiene información independiente que le indica que la señal es periódica.

No. Por ejemplo, la transformada de Fourier de un pulso gaussiano es otro pulso gaussiano, ninguno de los cuales parece oscilar.

Sin embargo, lo contrario es cierto. Si una señal es un oscilador de tipo sinusoidal, entonces FT o FFT mostrarán un pico o pico.

No es ni el componente de frecuencia más bajo (de la transformada de Fourier) ni el más alto. La transformada de Fourier existe incluso para señales no periódicas, y esas señales (obviamente) no oscilan en ninguna frecuencia.

Voy a decir aún más. Incluso para señales periódicas, todavía no es el componente de frecuencia más bajo ni el más alto, lo que, en general, determina su período. Si agrega dos sinusoides de 19 kHz y 20 kHz (como se hace comúnmente en las pruebas de intermodulación para equipos de audio), el espectro tiene un delta a 19 kHz y uno delta a 20 kHz. Sin embargo, la señal resultante tiene un período de 1 kHz. Ni 19 kHz, ni 20 kHz.

Si menciona Fourier, olvide que una señal puede "oscilar" a una sola frecuencia e intenta ver qué determina la frecuencia de esa oscilación. En general, una señal "oscila" a frecuencias infinitas. Todas aquellas frecuencias que tienen un componente distinto de cero, en su transformación de Fourier.

Agregado : incluso para una señal periódica, la frecuencia fundamental no es la del componente de frecuencia más baja (invisible o no) en la transformada de Fourier.

Toma este sencillo ejemplo:

\ $ S (t) = 1 + sin (2 \ pi f_1 · t) \ $

con \ $ f_1 = \ $ 1 kHz, que se ve así:

Observequesuperíodoesde1ms.

AhoramirelatransformadadeFourier,S(f),deS(t):

¿Cuál es la frecuencia de su componente de frecuencia más baja? Cero. ¿Es f = 0 la frecuencia fundamental de S (t)? No. La frecuencia fundamental de S (t) es 1 kHz.

La frecuencia dominante de la señal A es la que se puede llamar. Por ejemplo, un piano con 3 cuerdas generará 3 frecuencias similares más muchos armónicos complejos que normalmente no son monótonos en intensidad con armónicos, por no mencionar la fase.

Por lo tanto, el audio de la Nota A0 en el piano también tiene armónicos de menor magnitud en A1, A2, A3, A4, A5, A7 y A8, y así sucesivamente a través de todas las octavas o múltiplos de f1 donde los múltiplos son 1, 2,3,4,5,6,7 etc

Si lo fundamental es dominante, llamas a su frecuencia principal la más baja. Pero si silencia la frecuencia más baja, por ejemplo, en una onda media de guitarra en la cuerda o 1/4 de la cuerda. Suprime lo fundamental y, por lo tanto, predomina un armónico o armónico, por lo que se escucha que el contenido más alto y de Fourier en un medidor de densidad espectral o "Analizador de espectro" lo demostrará.

Espero que este enfoque no matemático sea lo suficientemente técnico para satisfacer su curiosidad.