Fondo
He realizado una larga medición de una señal periódica mediante un osciloscopio. Así, he capturado alrededor de 250 periodos de una señal. La señal en sí misma es una secuencia binaria seudoaleatoria en la salida de un filtro de paso bajo. Aquí es cómo una pequeña porción de la señal mira el osciloscopio:
Ahoraquieroimitarlaformaenqueestaseñalseríamuestreadaporunreceptorcoherente(unoquesabríaconprecisiónlafrecuenciadereloj\$f_c\$delgeneradordeseñal)conunpromedio(esdecir,elreceptorseleccionaríasegmentosidénticos)decadaperiodoymediasobreellos).Parahacerlo,definounafuncióndemuestreoperiódica(promediado)\$g_p(t)\$:
$$ x[n]=\intx(t)g_p(t-n/f_c)dt\\ g_p(t)=1/L\sum_{l=0}^{L-1}g(t-lN/f_c),$$
donde\$N\$eselnúmerodemuestrasenelperíodo,\$L\$eselnúmerodeperíodosobservadosy\$g(t)\$esunaventanaelementalqueseleccionaunamuestra(porejemplo,laventanadeHamming).Tambiéntengaencuentaquelafrecuenciademuestreodeloscilógrafoesenunordendemagnitudsuperioralafrecuenciadereloj\$f_c\$delasecuenciabinaria.
Ahoravienemiprimeraymenorpregunta:¿Miflujodepensamientoestágeneralmentebien?
Problemaprincipal
Noconozcoelvalorexactode\$f_c\$yquierocalcularloapartirdelosdatosdeentrada,hacerunaestimacióninicialyrefinarelresultadoalresolverunproblemadeoptimización.Miideaesquequieroquelafuncióndemuestreoperiódico\$g_p(t)\$seleccionelosfragmentosdedatosmássimilaresqueseaposible.Laintuiciónsugierequepodríamosverlavarianzade\$x[n]\$:
$$ \text{Var}\left\{x[n]\right\}=\mathbb{E}_{g_p}\left\{x^2\right\}-\mathbb{E}_{g_p}\left\{x\right\}^2\\ \mathbb{E}_{g_p}\left\{a\right\}\stackrel{\text{def}}{=}\frac{1}{||g_p||}\inta(t)g_p(t)dt.$$
Hastaahora,estaecuaciónnosdaráunavarianza(a.k.a.incertidumbredemedición)paraunaúnicamuestradereceptor.Esperoqueestevaloralcancesumínimosihemosseleccionadoel\$f_c\$correcto
Porrazonesdeestabilidad,formolafuncióndecostocomounavariacióncombinadadevariasmuestras.Unamuestraprobablementedaráunresultadoruidoso,ytomartodaslasmuestrasrequieredemasiadoesfuerzocomputacional.
Desafortunadamente,mientrashagounbarridosobreelespaciodebúsqueda,lafuncióndecostonomuestraningúntipodeconvexidad.TengaencuentaquelaestimacióninicialseencuentraenelcentrodelejeX.
¿Alguien podría darme una pista de lo que podría estar haciendo mal?
Además, tengo la fuerte sensación de que estoy reinventando la rueda. ¿Alguien sabe cómo se llama este problema correctamente, para que pueda buscarlo?