No puedo derivar una ecuación diferencial de esta compleja red RLC

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Así que estaba dibujando redes RLC arbitrarias y resolviéndolas como un ejercicio. Pero me encontré con este y parece imposible.

Específicamente, quiero derivar una ecuación diferencial que resuelve para \ $ i_2 \ $ (una ecuación con \ $ i_2 \ $ y sus derivados).

simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab

Y aquí está mi intento. Los voltajes y corrientes se definen de manera que: $$ v_2 = L \ frac {d (i_1-i_2)} {dt}, v_3 = i_2R_1, v_4 = \ frac {1} {C_1} \ int {i_2dt}, v_5 = (i_2-i_3) R_2, $$ $$ v_6 = (i_1-i_3) R_3, v_7 = i_3R_4, v_8 = \ frac {1} {C_2} \ int {i_3dt} $$ Aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff a todos los bucles nos da : $$ v_2 = v_3 + v_4 + v_5 = L \ frac {d (i_1-i_2)} {dt} = i_2R_1 + \ frac {1} {C_1} \ int {i_2dt} + (i_2-i_3) R_2 $$ $ $ v_6 = v_7 + v_8-v_5 = (i_1-i_3) R_3 = i_3R_4 + \ frac {1} {C_2} \ int {i_3dt} - (i_2-i_3) R_2 $$ $$ v_1 = v_2 + v_6 = L \ frac {d (i_1-i_2)} {dt} + (i_1-i_3) R_3 $$ $$ v_1 = v_3 + v_4 + v_5 + v_6 = i_2R_1 + \ frac {1} {C_1} \ int {i_2dt} + (i_2- i_3) R_2 + (i_1-i_3) R_3 $$ $$ v_1 = v_2-v_5 + v_7 + v_8 = L \ frac {d (i_1-i_2)} {dt} - (i_2-i_3) R_2 + i_3R_4 + \ frac {1 } {C_2} \ int {i_3dt} $$ $$ v_1 = v_3 + v_4 + v_7 + v_8 = i_2R_1 + \ frac {1} {C_1} \ int {i_2dt} + i_3R_4 + \ frac {1} {C_2} \ int { i_3dt} $$ $$ v_2 + v_6 = v_3 + v_4 + v_7 + v_8 $$ $$ = L \ frac {d (i_1-i_2)} {dt} + (i_1-i_3) R_3 = i_2R_1 + \ frac {1} {C_1} \ int {i_2dt} + i_3R_4 + \ frac {1} {C_2} \ int {i_3dt} $$ Ahora todo lo que tengo que hacer es escribir \ $ i_1 \ $ y \ $ i_3 \ $ en términos de \ $ i_2 \ $, y si las pistas anteriores no son e Aunque solo sea para hacer eso, no sé qué más. ¡Pero aparentemente no se puede hacer! .. ¡Hasta donde lo he intentado! Aquí hay algunas definiciones de \ $ i_3 \ $ y \ $ i_1 \ $ que he recogido usando las pistas anteriores (en las que, con suerte, puedes construir): $$ i_3 = \ frac {1} {R_2C_1} \ int {i_2dt} + \ left (\ frac {R_1} {R_2} +1 \ right) i_2- \ frac {L} {R_2} \ frac {d (i_1-i_2)} {dt} $$ $$ i_3 = \ frac {L} {R_3} \ frac {d (i_1-i_2)} {dt} + i_1- \ frac {v_1} {R_3} $$ $$ i_3 = \ frac {1} {R_2 + R_3} \ left ( \ frac {1} {C_1} \ int {i_2dt} + (R_1 + R_2) i_2 + i_1R_3-v_1 \ right) $$ $$ \ frac {di_1} {dt} = \ frac {di_2} {dt} + \ frac {R_1} {L} i_2 + \ frac {1} {LC_1} \ int {i_2dt} + \ frac {R_2} {L} (i_2-i_3) $$ $$ i_1 = \ left (\ frac {R_2 + R_4 } {R_3} +1 \ right) i_3 + \ frac {1} {R_3C_2} \ int {i_3dt} - \ frac {R_2} {R_3} i_2 $$ $$ i_1 = \ frac {1} {R_3} \ left ( v_1-i_2R_1- \ frac {1} {C_1} \ int {i_2dt} -i_2R_2 + (R_2 + R_3) i_3 \ right) $$ $$ \ frac {di_1} {dt} = \ frac {v_1} {L} + \ frac {di_2} {dt} + \ frac {R_2} {L} i_2- \ frac {R_2 + R_4} {L} i_3- \ frac {1} {LC_2} \ int {i_3dt} $$

    
pregunta mjtsquared

1 respuesta

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Realmente creo que la respuesta de nidhin es la mejor manera de ir. Use la transformada de Laplace, calcule \ $ I_2 (s) \ $ y luego vuelva a convertirla en una ecuación diferencial si no está interesado en la solución.

Acabo de hacerlo para que le muestres a lo que te enfrentas si intentas evitar las transformaciones de Laplace:

La transformada de Laplace da la solución (usé un CAS para esto):

\ $ I_2 \ cdot (a \ cdot s ^ 3 + b \ cdot s ^ 2 + c \ cdot s + d) = V_1 \ cdot (e \ cdot s ^ 3 + f \ cdot s ^ 2) \ $

Suprimiendo la ecuación diferencial de la forma:

\ $ a \ frac {d ^ 3i_2} {dt ^ 3} + b \ frac {d ^ 2i_2} {dt ^ 2} + c \ frac {di_2} {dt} + d \ cdot i_2 = e \ frac {d ^ 3v_1} {dt ^ 3} + f \ frac {d ^ 2v_1} {dt ^ 2} \ $

Donde están los coeficientes (espero que los haya copiado correctamente):

\ $ a = C_1C_2L (R_3R_4 + R_2R_4 + R_1R_4 + R_1R_2) \ $

\ $ b = C_1C_2R_3 (R_2R_4 + R_1R_4 + R_1R_2) + (C_1 + C_2) L (R_2 + R_3) + L (C_2R_4 + C_1R_1) \ $

\ $ c = C_2R_3 (R_4 + R_2) + C_1R_3 (R_2 + R_1) \ $

\ $ d = R_3 \ $

\ $ e = C_1C_2L (R_2 + R_3 + R_4) \ $

\ $ f = C_1 (C_2R_2R_3 + L) \ $

No recomendaría hacer esto sin transformarme en Laplace. Si bien es posible resolverlo sin él, puede ser muy difícil ver cómo deben sustituirse las ecuaciones.

    
respondido por el Sven B

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