¿Cuál es la respuesta de frecuencia más nítida para un filtro de paso bajo no causal cuya respuesta al escalón no se sobrepasa?

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Los filtros Butterworth, Bessel, Chebychev y sinc de paso bajo se usan en varios casos en los que existen diferentes compromisos entre tener una respuesta de frecuencia que disminuye de manera uniforme, una respuesta de fase uniforme, un corte pronunciado o una respuesta de "muro de ladrillo" . Creo que todos estos filtros pueden, en algunos casos, rebasarse en su respuesta a pasos, lo que significa que su respuesta a impulsos es negativa en algunos lugares.

¿Cuál sería la respuesta de frecuencia óptima, o qué tipos de respuestas de frecuencia estarían disponibles, en un filtro cuya única restricción era que la respuesta de impulso no podía ser negativa en ningún lugar? Ciertamente, es posible tener un filtro de paso bajo que cumpla con una restricción de este tipo, ya que un filtro RC básico lo hará (aunque la respuesta de dicho filtro es un tanto desagradable). ¿La respuesta óptima al impulso sería una curva de distribución normal, o algo más?

    
pregunta supercat

2 respuestas

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Voy a enumerar el grupo de "filtros que no se sobrepasan". Espero que encuentre esta respuesta parcial mejor que ninguna respuesta en absoluto. Es de esperar que las personas que buscan "un filtro que no se sobrepase" encuentren útil esta lista de filtros. Quizás uno de estos filtros funcionará adecuadamente en su aplicación, incluso si aún no hemos encontrado el filtro matemáticamente óptimo.

Filtros causales de LTI de primer y segundo orden

La respuesta al escalón de un filtro de primer orden ("filtro RC") nunca se sobrepasa.

La respuesta al escalón de un filtro de segundo orden ("biquad") se puede diseñar de tal manera que nunca se sobrepase. Hay varias formas equivalentes de describir esta clase de filtro de segundo orden que no se sobrepasa en una entrada por pasos:

  • está amortiguado críticamente o está sobrecargado.
  • no está en mal estado.
  • la relación de amortiguamiento (zeta) es 1 o más
  • el factor de calidad (Q) es 1/2 o menos
  • el parámetro de velocidad de decaimiento (alfa) es al menos la frecuencia angular natural no amortiguada (omega_0) o más

En particular, se amortigua críticamente una topología de filtro Sallen-Key de ganancia unitaria con capacitores iguales y resistencias iguales: Q = 1/2, y por lo tanto no se sobrepasa en una entrada por pasos.

Un filtro de Bessel de segundo orden tiene una posición ligeramente inferior a la de la luz: Q = 1 / sqrt (3), por lo que tiene un poco más de exceso.

Un filtro Butterworth de segundo orden está menos saturado: Q = 1 / sqrt (2), por lo que tiene más rebasamiento.

De todos los posibles filtros LTI de primer orden y de segundo orden que son causales y no se sobrepasan, el que tiene la respuesta de frecuencia "mejor" (más pronunciada) son los filtros de segundo orden "críticamente amortiguados".

filtros causales de LTI de orden superior

El filtro causal de orden superior más utilizado que tiene una respuesta de impulso que nunca es negativa (y, por lo tanto, nunca sobrepasa en una entrada por pasos) es el "filtro de promedio de ejecución", también llamado "filtro de vagón de caja" o " filtro de promedio móvil ".

A algunas personas les gusta ejecutar datos a través de un filtro de vagones y la salida de ese filtro a otro filtro de vagones. Después de algunos de estos filtros, el resultado es una buena aproximación del filtro gaussiano. (Cuantos más filtros conecte en cascada, más se aproximará la salida final a un gaussiano, independientemente del filtro con el que comience (boxcar, triangle, RC de primer orden o cualquier otro), debido al teorema del límite central).

Prácticamente todas las funciones de ventana tienen una respuesta de impulso que nunca es negativa, por lo que en principio se pueden usar como filtros FIR que nunca se sobrepasa en una entrada de paso. En particular, escucho cosas buenas sobre la ventana de Lanczos , que es el lóbulo central (positivo) de la función sinc () (y cero fuera de ese lóbulo). Algunos filtros modelado de pulso tienen una respuesta de impulso que nunca es negativa, por lo que pueden usarse como filtros que nunca se sobrepasan en un paso de entrada.

No sé cuál de estos filtros es el mejor para su aplicación, y sospecho que el filtro matemáticamente óptimo puede ser un poco mejor que cualquiera de ellos.

filtros causales no lineales

El filtro de mediana es un filtro no lineal popular que nunca se sobrepasa en una entrada de función escalonada.

EDITAR: Filtros no causales de LTI

La función sech (t) = 2 / (e ^ (- t) + e ^ t) es su propia transformada de Fourier, y supongo que podría usarse como un tipo de filtro LTI de paso bajo no causal que nunca sobrepasa en una entrada de paso.

El filtro LTI no causal que tiene la respuesta de impulso (sinc (t / k)) ^ 2 tiene una respuesta de frecuencia "abs (k) * triángulo (k * w)". Cuando se le da una entrada de paso, tiene una gran cantidad de rizado en el dominio del tiempo, pero nunca sobrepasa el punto final de asentamiento. Por encima de la esquina de alta frecuencia de ese triángulo, proporciona un rechazo perfecto de la banda de parada (atenuación infinita). Así que en la región de la banda de parada, tiene una mejor respuesta de frecuencia que un filtro gaussiano.

Por lo tanto, dudo que el filtro gaussiano brinde la "respuesta de frecuencia óptima".

En el conjunto de todos los posibles "filtros que no se sobrepasan", sospecho que no hay una única "respuesta de frecuencia óptima"; algunos tienen un mejor rechazo de la banda de parada, mientras que otros tienen bandas de transición más estrechas, etc.

    
respondido por el davidcary
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La mayoría de los filtros utilizados en el mundo digital son solo versiones muestreadas de la contraparte analógica. Una gran razón para esto es que hubo mucho trabajo en el filtrado analógico antes de que apareciera el digital, así que en lugar de reinventar la rueda, la mayoría solo usaba diseños anteriores. Sin embargo, la ventaja de lo digital es que un filtro de orden superior se puede lograr mucho más fácilmente que en el mundo analógico. Solo imagine un circuito complejo cada vez que agregue otro pedido al diseño.

Si va a buscar un filtro tipo muro de ladrillo, la curva de Gauss es un buen lugar para comenzar. Si sabe acerca de Time Domain < - > Dominio de la frecuencia; un gaussiano se transforma en un gaussiano en el otro dominio. A medida que se enrolla en uno, se estrecha en el otro. Por lo tanto, para obtener un pico perfecto en el dominio de frecuencia, necesitarías una cantidad infinita de muestras.

Si tiene Matlab disponible para su uso, debería revisar algunas de las herramientas integradas de diseño de filtros. Aquí hay un enlace que habla sobre Butterworth y Bessel . Las herramientas de diseño le permiten especificar ciertos aspectos del filtro. Estos aspectos cambian para cada tipo de filtro, pero algunos ejemplos son Passband, stopband, ripple, etc. Si le da al diseñador las restricciones que desea, le dará un error (lo que significa que no puede hacer ese filtro con ese tipo de filtro). ) o le dará un filtro con el pedido mínimo requerido para cumplir con las especificaciones.

    
respondido por el Kellenjb

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