integral de autocorrelación de onda cuadrada

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Dada la siguiente señal de onda cuadrada g (t):

Estoytratandodeencontrarel \ $ R (\ tau) \ $ de esta señal, pero estoy confundido acerca de cómo resolver la integral. En la señal de arriba, la onda cuadrada roja es la señal desplazada \ $ g (t- \ tau) \ $ . Entiendo que la función de autocorrelación será periódica porque g (t) es periódica y será una forma de onda triangular.

$$ R (\ tau) = \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} g (t) g (t- \ tau) dt $$

Intentando encontrar la primera integral para \ $ \ tau < T / 2 \ $ (primera imagen) Tengo: $$ R_1 (\ tau) = \ int _ {- T / 4} ^ {- T / 4 + \ tau} -dt + \ int _ {- T / 4 + \ tau} ^ {T / 4} dt + \ int_ {T / 4} ^ {T / 4 + \ tau} -dt + \ int_ {T / 4 + \ tau} ^ {3T / 4} dt = (- \ tau) + (T / 2 - \ tau) + (- \ tau) + (T / 2 - \ tau) = T - 4 \ tau $$

Para \ $ T / 2 < \ tau < T \ $ Tendría el inverso, supongo, ya que debe ser simétrico.

Estoy confundido en la primera integral. No estoy exactamente seguro de estar en lo correcto. I think debo calcular ambas integrales (en la imagen) en un período, es decir, para que el intervalo integral integrado para \ $ R_1 (\ tau) \ $ está en un período. ¿O es en medio período? En cuyo caso \ $ R_1 (\ tau) \ $ sería \ $ R_1 (\ tau) = T / 2 - 2 \ tau \ $ . El hecho de que la señal sea periódica es lo que me confunde. En última instancia, quiero obtener un período de \ $ R (\ tau) \ $ . Así que mi pregunta simplemente es: ¿es correcta la expresión que obtuve para \ $ R_ {1} (\ tau) \ $ ?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

    
pregunta Yannick

1 respuesta

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No debería ser difícil verificar que \ $ R (\ alpha) \ $ es periódico con el período \ $ T \ $ . Aquí, el valor de \ $ R_1 (\ alpha) = T- 4 \ alpha \ $ parece correcto, para \ $ R_2 (\ alpha) \ $ Lo calculo para que sea \ $ 4 \ alpha - 3T \ $ . Ambos \ $ R_1, \ R_2 \ $ definen \ $ R (\ alpha) \ $ durante un período , como se define \ $ R_1 \ $ para \ $ 0 < \ alpha < T / 2 \ $ mientras que \ $ R_2 \ $ es para \ $ T / 2 < \ alpha < T \ $ .

EDITAR: Aquí, digamos que \ $ T_p \ $ es el período de su señal \ $ g (t) \ $ . Al utilizar Wikipedia , obtenemos $$ R (\ alpha) = \ lim _ {T \ to \ infty} T ^ {- 1} \ int_0 ^ {T} g (t) g (t- \ alpha) dt. $$ Ahora esto puede simplificarse por la periodicidad de su señal \ $ g (t) \ $ para dar $$ R (\ alpha) = \ lim _ {T \ to \ infty} T ^ {- 1} \ sum_ {k = 0} ^ {k = T / T_p-1} \ int_ {k T_p} ^ {(k + 1) T_p} g (t) g (t- \ alfa) dt. $$ Ahora que la integral es periódica durante un período \ $ T_p \ $ obtenemos $$ R ( \ alpha) = T_p ^ {- 1} \ int_0 ^ {T_p} g (t) g (t- \ alpha) dt. $$

Hasta un factor constante, esto coincide con la definición que usaste.

    
respondido por el MUB

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