Corriente transitoria en un circuito LC con suministro de CC

Su decaimiento exponencial es de otro caso. Ese caso tiene una resistencia en serie con un condensador.

Su circuito LC, si no tiene pérdidas, comienza a oscilar. La corriente es sinusoidal y los voltajes sobre L y C también son sinusoidales. El voltaje sobre el C oscila entre 0 y 2E.

En la teoría de circuitos tienes 2 ecuaciones diferenciales variables de estado, una para la corriente del inductor y otra para la tensión del condensador. Se pueden utilizar "tal cual" para la simulación numérica.

Esas ecuaciones se reducen a una ecuación diferencial de segundo orden para la solución analítica. Consulte casi cualquier libro de texto de análisis de circuito introductorio. (nivel = académico de pregrado).

O vea esto: enlace

ADENDA: debido al comentario

Tienes razón cuando piensas que la C está vacía al principio y que la corriente comienza a crecer gradualmente debido a la inductancia. La corriente alcanza su máximo cuando C tiene voltaje = E. La corriente comienza a disminuir, pero aún así carga el C hasta que tiene voltaje 2E.

Las ecuaciones de las variables de estado se pueden expresar como palabras. Son las leyes de circuito más básicas desde las leyes de Ohm y Kirchoff y el cálculo del poder. Las ecuaciones:

La corriente del inductor crece a la velocidad (amperios por segundo) = el voltaje sobre el inductor dividido por la inductancia

El voltaje del capacitor aumenta a una tasa (voltios / segundo) = la corriente de carga dividida por la capacitancia.

De estos, debe notar que el inductor mantiene la carga bien por encima del voltaje de la batería.

La corriente de carga disminuye (= voltaje negativo sobre la L) cuando la tensión del capacitor ha alcanzado y pasado por alto a E. En 2E, la corriente del inductor se redujo a cero; No más carga. Debido a la tensión negativa del inductor, la corriente comienza a crecer en dirección inversa, es decir. El condensador se descarga. Cuando el voltaje del capacitor es cero, se realiza un ciclo completo de oscilación y comienza el siguiente ciclo.

Ver ejemplo de simulación numérica

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

En la práctica, la oscilación desaparece debido a la resistencia y en altas frecuencias también debido a la radiación de las ondas de radio. Solo los circuitos superconductores pueden retener la oscilación durante mucho tiempo, pero el circuito no puede tener una batería.

En los circuitos del oscilador LC (por ejemplo, en radios), la oscilación puede ser continua, ya que las pérdidas son compensadas por los amplificadores.

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

¡Me gustaría proporcionarle el enfoque analítico para obtener el resultado tal como lo mencionaron otros ya!

En el circuito que se muestra, asumiendo que las condiciones iniciales de la corriente del inductor y los voltajes de los condensadores son:

$$ i_L (0 ^ -) = 0 A \\ v_c (0 ^ -) = 0 V $$ Desde la topología, $$ V_s = L \ frac {di_L (t)} {dt} + v_c (t) $$ $$ v_c (t) = \ frac {1} {C} \ int i_L (t) dt $$ $$ V_s = L \ frac {di_L (t)} {dt} + \ frac {1} {C} \ int i_L (t) dt $$ Ahora escribiendo la transformada laplace para lo anterior terminamos con $$ V_s (s) = L [sI_L (s) - i_L (0 ^ -)] + \ frac {I_L (s)} {Cs} -v_c (0 ^ -) $$ Las variables en letras mayúsculas denotan la representación del dominio de frecuencia y las letras minúsculas indican sus contrapartes del dominio del tiempo. Conociendo las condiciones iniciales para las variables de estado respectivamente, $$ i_L (0 ^ -) = 0 A \, v_c (0 ^ -) = 0 V $$ $$ V_s (s) = LsI_L (s) + \ frac {I_L (s)} {Cs} $$ Para una fuente de tensión CC o tensión de excitación de entrada escalonada de magnitud Vs, $$ V_s (s) = \ frac {V_s} {s} $$ $$ \ frac {V_s} {s} = \ frac {LCs ^ 2 + 1} {Cs} I_L (s) $$ $$ I_L (s) = \ frac {\ frac {V_s} {L}} {s ^ 2 + \ frac {1} {LC}} $$ La transformada de Laplace de sin (at) es $$ \ frac {a} {s ^ 2 + a ^ 2} $$ De manera similar, obtenemos $$ i_L (t) = \ sqrt \ frac {C} {L} V_s \ sin (\ frac {t} {\ sqrt {LC}}) $$ Sustituyendo iL (t) en otras ecuaciones, se pueden obtener los voltajes máximos como, $$ v_c (t) = V_s [1- \ cos \ frac {t} {\ sqrt {LC}}] $$

Las reglas generales simples para los condensadores e inductores en los circuitos son: $$ v (t) = L {di (t) \ over dt} $$ y $$ i (t) = C {dv (t) \ over dt}. $$

Los decaimientos exponenciales sobre los que pregunta son casos especiales de estas mismas reglas, al igual que el comportamiento de CA.

Puedes intentar aproximar lo que sucederá calculando lo siguiente para unos pocos fragmentos cortos de tiempo:

$$ i_ {j + 1} = i_j + (t_ {j + 1} - t_j) {1 \ sobre L} (E-v_j) $$ y $$ v_ {j + 1} = v_j + (t_ {j + 1} - t_j) {1 \ sobre C} i_j $$ comenzando con \ $ v_0 = i_0 = 0 \ $.

Incluso puedes hacer esto en una hoja de cálculo para tener una idea de lo que sucede en la vida real.

Puede leer bastantes respuestas explicando que la razón de estas ecuaciones es la energía que se almacena en el campo magnético o el campo eléctrico respectivamente.