Debo hacer esta tarea:
Traduccióncorta:Laimagenpresentaseñalsinusoidalmodificada.DebocalcularF(k)utilizandolaseriedeFourier,elpróximoespectrodeamplituddedibujoyelespectrodefase.
Tengo2problemas:
¿EsestaformacorrectadecalcularF(k)?
¿Puede alguien explicar cómo debe verse la amplitud y el espectro de fase?
Gracias por cualquier ayuda /
Esto es demasiado largo para un comentario. También necesitaba el espacio extra. Siéntete libre de comentar cualquier cosa.
Lo que realmente está preguntando es si el cálculo se realiza con T / 8 o T / 4 o T / 2. La cosa es que la señal tiene un período de T / 2, por lo que ese es el valor que necesita usar. Ahora, también debemos tener en cuenta el intervalo de tiempo en el que la señal es 0. Para hacerlo, debemos definir la señal correctamente.
Lo primero que debes hacer es describir la señal, es decir: $$ f (t) = \ left \ {\ begin {array} {ccc} \ Biggl | A \ sin \ Bigl (2 \ pi \ frac {4} {T} t \ Bigr) \ Biggr | & & t \ in \ biggl (0 + k \ frac {T} {2}, \ frac {T} {4} + k \ frac {T} {2} \ biggr), \, k \ in \ mathbf {Z} \\ 0 & & t \ in \ biggl (\ frac {T} {4} + k \ frac {T} {2}, \ frac {T} {2} + k \ frac {T} {2} \ biggr) , \, k \ in \ mathbf {Z} \ end {array} \ right. $$
Note que la sinusoide tiene amplitud A y período T / 4, pero el segundo semestre es positivo (entonces usamos el valor absoluto).
La expresión para f (t) es la misma que: $$ f (t) = \ left \ {\ begin {array} {ccc} A \ sin \ Bigl (2 \ pi \ frac {4} {T} t \ Bigr) & & t \ in \ biggl (0+ k \ frac {T} {2}, \ frac {T} {8} + k \ frac {T} {2} \ biggr), \, k \ in \ mathbf {Z} \\ - A \ sin \ Bigl (2 \ pi \ frac {4} {T} t \ Bigr) & & t \ in \ biggl (\ frac {T} {8} + k \ frac {T} {2}, \ frac {T} {4} + k \ frac {T} {2} \ biggr), \, k \ in \ mathbf {Z} \\ 0 & t \ in \ biggl (\ frac {T} {4} + k \ frac {T} {2}, \ frac {T} {2} + k \ frac {T} {2} \ biggr), \, k \ in \ mathbf {Z} \ end {array} \ right. $$ Recuérdalo $$ c_n = \ frac {1} {P} \ int_ {t_0} ^ {P + t_0} f (t) e ^ {- 2 \ pi j \ frac {n} {P} t} \, dt $$
En nuestro caso, P es el período (P = T / 2), j es la unidad imaginaria y t_0 es el instante inicial (por ejemplo, t_0 = 0). Entonces, $$ \ begin {array} {rcl} c_n = \ frac {2} {T} \ int_ {0} ^ {\ frac {T} {2}} f (t) e ^ {- 2 \ pi j \ frac {2n} {T} t} \, dt & = & I_1 + I_2 + I_3 \ end {array} $$ donde solo calcularé I_1 para hacer realidad la idea: $$ \ begin {array} {rcl} I_1 & = & \ frac {2} {T} \ int_0 ^ {\ frac {T} {8}} A \ sin \ Bigl (\ frac {8 \ pi} {T} t \ Bigr) e ^ {- 2 \ pi j \ frac {2n} {T} t} \, dt \\ & = & \ frac {2A} {T} \ int_0 ^ {\ frac {T} {8}} \ frac {e ^ {j \ frac {8 \ pi} {T} t} -e ^ {- j \ frac {8 \ pi} {T} t}} {2j} \ cdot e ^ {- j \ frac {4 \ pi n} {T} t} \, dt \\ & = & \ frac {A} {jT} \ int_0 ^ {\ frac {T} {8}} e ^ {j \ frac {8 \ pi} {T} t} e ^ {- j \ frac { 4 \ pi n} {T} t} \, dt- \ frac {A} {2j} \ int_0 ^ {\ frac {T} {8}} e ^ {- j \ frac {8 \ pi} {T} t} e ^ {- j \ frac {4 \ pi n} {T} t} \, dt \\ & = & \ frac {A} {jT} \ Biggl (\ frac {T} {8 \ pi-4 \ pi n} e ^ {j2 \ pi \ frac {2-n} {T} t} \ Biggr | _ {0} ^ {\ frac {T} {8}} - \ frac {T} {- 8 \ pi-4 \ pi n} e ^ {- j2 \ pi \ frac {2 + n} {T } t} \ Biggr | _ {0} ^ {\ frac {T} {8}} \ Biggr) \\ & = & \ frac {A} {jT} \ Biggl (\ frac {T} {8 \ pi-4 \ pi n} (e ^ {j2 \ pi \ frac {2-n} {T} \ frac {T} {8}} - 1) + \ frac {T} {8 \ pi + 4 \ pi n} (e ^ {- j2 \ pi \ frac {2 + n} {T} \ frac {T} { 8}} - 1) \ Biggr) \\ & = & \ frac {A} {j} \ Biggl (\ frac {1} {8 \ pi-4 \ pi n} (e ^ {j \ pi \ frac {2-n} {4}} - 1) + \ frac {1} {8 \ pi + 4 \ pi n} (e ^ {- j \ pi \ frac {2 + n} {4}} - 1) \ Biggr) \\ & & \\ I_2 & = & \ frac {2} {T} \ int _ {\ frac {T} {8}} ^ {\ frac {T} {4}} - A \ sin \ Bigl (\ frac {8 \ pi} {T} t \ Bigr) e ^ {- j \ frac {4 \ pi n} {T} t} \, dt \\ & = & ... \\ & & \\ I_3 & = & \ frac {2} {T} \ int _ {\ frac {T} {4}} ^ {\ frac {T} {2}} 0e ^ {2 \ pi j \ frac {2n} {T } t} \, dt \\ & = & 0 \ end {array} $$
Creo que esto es todo lo que necesita para corregir sus cálculos ahora ... ¡Buena suerte!