¿Por qué mi libro de texto usó la energía de señal como una medida de error de aproximación, en lugar de otra cosa?

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TL, WR: ¿Por qué usamos la energía de la señal como una medida del error de una aproximación y no algo "más simple" como el valor absoluto del error?

Antecedentes: Estoy leyendo mi libro de texto para mi introducción a la clase de señales, y acaban de llegar al punto en el que están discutiendo representaciones de señales de la serie de Fourier.

Específicamente, están hablando de la onda cuadrada y de cómo debe descomponerse en un número infinito de exponenciales complejas relacionadas armónicamente

$$ x (t) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} a_k \ cdot e ^ {jk \ omega_0 t} $$ y cómo obtener un error de aproximación, quieren usar un número finito para representarlo

$$ e_N (t) = x (t) - x_ {N} (t) = x (t) - \ sum_ {k = -N} ^ {+ N} a_k \ cdot e ^ {jk \ omega_0 t} $$

Luego dicen,

  

Para determinar qué tan buena es cualquier aproximación en particular, necesitamos especificar una medida cuantitativa del tamaño del error de aproximación. El criterio que usaremos es la energía en el error durante un período.   $$ E_N = \ int_ {T} | e_N (t) | ^ 2 dt $$

¿Por qué eligieron usar esto como la medida del error, en lugar de, digamos, el valor absoluto del error? Las integrales son matemáticas "difíciles" (con lo que quiero decir más tiempo) y me gustaría escuchar una justificación de cualquiera que trabaje estrechamente con estas cosas. Supongo que hacerlo de esta manera podría revelar lugares donde el error en la señal aumenta, lo que podría ser información útil, pero eso es lo único que me viene a la mente de inmediato.

    
pregunta Andrew Quinn

2 respuestas

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Al utilizar toda el área bajo una señal de bit de datos (integradora) y su energía, se obtiene la máxima señal en comparación con el error de ruido. Los métodos de menor rendimiento utilizan la señal de pico y, a continuación, se puede aplicar ruido de pico, pero se obtiene una SNR peor y una BER más alta. Los buenos demoduladores pueden ser más difíciles que la muestra del centro del pico, pero la integración de toda la energía de la señal sobre el símbolo proporciona una SNR más alta y una BER más baja.

Cuando entras en las especificaciones de ADC, utilizan aproximadamente 6 formas diferentes de expresar el error para cuantificar el rendimiento dinámico de ADC.

SINAD (relación señal-ruido-distorsión),
 ENOB (número efectivo de bits),
 SNR (relación señal-ruido),
 THD (distorsión armónica total),
 THD + N (distorsión armónica total más ruido),
 SFDR (rango dinámico libre de espurios).

    
respondido por el Tony EE rocketscientist
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Es muy probable que hagamos nuestros cálculos en el dominio de la frecuencia porque las series y transformaciones de Fourier son útiles. Desafortunadamente, no presentan señales exactamente, puede haber grandes picos de error grandes si transformamos nuestra serie de Fourier de nuevo al dominio del tiempo. Pero los matemáticos han demostrado que esos picos de error tienen cada vez menos energía, si agregamos más componentes de frecuencia a la cuenta. El límite es el error de energía cero con todos los términos, pero aún puede haber algunos picos de error de longitud cero. Los matemáticos dirían que las series de Fourier convergen solo en cuanto a energía.

Además, la potencia de error y la energía son menos complejas que el valor absoluto del error y su promedio. Esto se debe a que el error absoluto no tiene un derivado continuo, siempre hay un ángulo agudo en el cruce por cero. Eso excluye un montón de poderosos métodos matemáticos.

    
respondido por el user287001

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