Sé que \ $ e ^ {jk2 \ pi} \ $ o \ $ e ^ {\ mathrm {integer}} \ $ le dará 1, pero no puedo encontrar la prueba de por qué \ $ e ^ {jk \ pi} = (-1) ^ k \ $.
¿Alguien puede explicar cómo \ $ e ^ {jk \ pi} = (-1) ^ k \ $?
¿Tiene que ver con el hecho de que es un múltiplo de \ $ \ pi \ $ y no múltiplo de \ $ 2 \ pi \ $?
Hay una identidad muy famosa, conocida como Identidad de Euler , que dice:
$$ e ^ {i \ pi} + 1 = 0 \ rightarrow e ^ {i \ pi} = - 1 $$
Es una identidad que deben ser conocidas por todos ingenieros y matemáticos, y puedes sustituirla cuando sea necesario.
En cuanto a tu pregunta
$$ a ^ {bc} = (a ^ b) ^ c $$
entonces
$$ e ^ {ik \ pi} = (e ^ {i \ pi}) ^ k = (- 1) ^ k $$
En caso de que se lo pregunte, y como se describe en su totalidad en el artículo de Wiki en el enlace anterior, esto proviene de la Euler's fórmula :
$$ e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x $$
¿Qué sucede cuando configuras \ $ x = \ pi \ $?
Bien, obtienes:
$$ e ^ {i \ pi} = \ cos (\ pi) + i \ sin (\ pi) = -1 + 0i = -1 $$
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