Derivar la fórmula desde 'scratch' para cargar un capacitor

^{simular este circuito : esquema creado usando CircuitLab}

Es un proceso bastante sencillo. Hay tres pasos:

1. Escribe una ecuación KVL. Debido a que hay un condensador, esta será una ecuación diferencial.
2. Resuelva la ecuación diferencial para obtener una solución general.
3. Aplique la condición inicial del circuito para obtener la solución particular. En este caso, las condiciones nos dicen si el condensador se cargará o descargará.

Vamos a pasar por esto. En lugar de utilizar una función de paso real, usaré una entrada de CC y asumiré que el condensador comienza a descargarse. Primero, escribe una ecuación KVL:

$$ V_i = v_R + v_C $$

En el análisis de circuitos, nos gusta usar la corriente en lugar de la carga. Entonces, en lugar de \ $ Q = CV \ $, usamos \ $ i = C \ frac {dV} {dt} \ $. La resistencia y el condensador comparten la misma corriente, por lo que:

$$ i_R = i_C = C \ frac {dv_C} {dt} $$

Puedes poner esto en la ecuación KVL:

$$ v_R = Ri_R = Ri_C = RC \ frac {dv_C} {dt} $$ $$ V_i = RC \ frac {dv_C} {dt} + v_C $$

Esta es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Usando, un poco de álgebra, puede reorganizarlo en una forma solucionable:

$$ RC \ frac {dv_C} {dt} = V_i - v_c $$ $$ \ frac {dv_C} {V_i - v_C} = \ frac {dt} {RC} $$

La integración de ambos lados da:

$$ - \ ln (V_i - v_C) = \ frac t {RC} + C_0 $$

Puedes deshacerte de \ $ \ ln \ $ moviendo el signo negativo y haciendo de ambos lados un poder de \ $ e \ $:

$$ V_i - v_C = e ^ {- t / RC + C_0} = e ^ {- t / RC} e ^ {C_0} $$

\ $ C_0 \ $ es una constante de integración, por lo que \ $ e ^ {C_0} \ $ también es una constante. Vamos a cambiarle el nombre a \ $ C_1 \ $ por conveniencia:

$$ V_i - v_C = C_1e ^ {- t / RC} $$

La ecuación diferencial se resuelve, pero todavía hay un desconocido (\ $ C_1 \ $). Puede encontrar su valor si conoce la condición inicial del circuito. En este caso, dije que el condensador comenzó a descargarse (\ $ v_C = 0 \ $ en \ $ t = 0 \ $), así que usemos eso:

$$ V_i - 0 = C_1e ^ {- 0 / RC} = C_1 \ cdot 1 $$ $$ C_1 = V_i $$

Ahora puedes encontrar la ecuación totalmente resuelta:

$$ V_i - v_C = V_ie ^ {- t / RC} $$ $$ v_C = V_i - V_ie ^ {- t / RC} $$ $$ v_C = V_i (1 - e ^ {- t / RC}) $$

¿Esto es correcto? En \ $ t = 0 \ $, tienes:

$$ v_C = V_i (1 - 1) = 0 $$

y en \ $ t = \ infty \ $, tienes:

$$ v_C = V_i (1 - 0) = V_i $$

Entonces, el condensador comienza a descargarse, termina completamente cargado, y en medio hay una caída exponencial. ¡Eso es correcto!

Para la descarga, \ $ V_i = 0 \ $ y la condición inicial es que el condensador se cargue a un valor distinto de cero, al que llamaré \ $ V_0 \ $. Puedes usar estos para resolver \ $ C_1 \ $ nuevamente:

$$ 0 - V_0 = C_1e ^ {- 0 / RC} $$ $$ C_1 = -V_0 $$ $$ - v_C = -V_0e ^ {- t / RC} $$ $$ v_C = V_0e ^ {- t / RC} $$

Como alternativa a los textos clásicos que se aproximan, considere la siguiente derivación (e interpretación) alternativa que desarrollé hace algunos años para motivar a los estudiantes. Está relacionado con la discretización del circuito RC cuando la entrada es un paso de voltaje (magnitud V) para \ $ t \ geq 0 \ $.

Aplicando el método de reenvío de Euler a esta ecuación diferencial de primer orden, con \ $ k = 0,1,2, ..., N \ $ (donde \ $ N \ $ es el número de intervalos y \ $ \ Delta t \ $ es muy pequeño):

$$ \ frac {v_c (k + 1) - v_c (k)} {\ Delta t} \ approx \ frac {dv_c (t)} {dt} \ mid _ {t = k \ Delta t} $ PS o $$ v_c (k + 1) = v_c (k) + (\ frac {V-v_c (k)} {RC}) \ Delta t $$ Interpretación física:

\ $ \ frac {V-v_c (k)} {R} \ $: la corriente tomada como constante en \ $ \ Delta t \ $ interval.

\ $ (\ frac {V-v_c (k)} {R}) \ Delta t \ $: Cambio de la carga del condensador al final del intervalo (es decir, \ $ \ Delta q (k + 1) \ $) .

\ $ (\ frac {V-v_c (k)} {RC}) \ Delta t \ $: Cambio del voltaje del capacitor al final del intervalo (es decir, \ $ \ Delta v_c (k + 1) \ $) .

Reorganización:

$$ v_c (k + 1) = \ frac {V \ Delta t} {RC} + (1- \ frac {\ Delta t} {RC}) v_c (k) $$

Es posible desarrollar los términos de esta ecuación en diferencias para \ $ k \ ge 1 \ $, considerando, en este caso particular, \ $ v_c (0) = 0 \ $: $$ v_c (1) = \ frac {V \ Delta t} {RC} $$ $$ v_c (2) = \ frac {V \ Delta t} {RC} + (1- \ frac {\ Delta t} {RC}) \ frac {V \ Delta t} {RC} = \ frac {V \ Delta t} {RC} \ left [1+ (1- \ frac {\ Delta t} {RC}) \ right] $$ $$ v_c (3) = \ frac {V \ Delta t} {RC} \ left [1+ (1- \ frac {\ Delta t} {RC}) + (1- \ frac {\ Delta t} {RC }) ^ 2 \ right] $$ $$ v_c (4) = \ frac {V \ Delta t} {RC} \ left [1+ (1- \ frac {\ Delta t} {RC}) + (1- \ frac {\ Delta t} {RC }) ^ 2+ (1- \ frac {\ Delta t} {RC}) ^ 3 \ right] $$ ... $$ v_c (k) = \ frac {V \ Delta t} {RC} \ left [1+ (1- \ frac {\ Delta t} {RC}) + ... + (1- \ frac {\ Delta t} {RC}) ^ {k-1} \ right] $$

La suma de los primeros \ $ k \ $ términos para una serie geométrica finita, lleva a:

$$ v_c (k) = V \ left [1- (1- \ frac {\ Delta t} {RC}) ^ k \ right] $$

Desde que \ $ k = \ frac {t} {\ Delta t} \ $:

$$ (1- \ frac {\ Delta t} {RC}) ^ {\ frac {t} {\ Delta t}} = \ left [(1- \ frac {\ Delta t} {RC}) ^ {\ frac {-1} {\ frac {\ Delta t} {RC}}} \ right] ^ {- \ frac {t} {RC}} $$

Regresando en la expresión para \ $ v_c (k) \ $ y tomando el límite cuando \ $ \ Delta t \ rightarrow 0 \ $ (es decir, conversión de tiempo discreto a tiempo continuo): $$ \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} v_c (k) = V \ left \ {1- \ left [\ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} (1- \ frac {\ Delta t} {RC} ) ^ {\ frac {-1} {\ frac {\ Delta t} {RC}}} \ right] ^ {\ frac {-t} {RC}} \ right \} $$

Recordando una definición alternativa del número de Euler (\ $ e \ $):

$$ \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} (1- \ frac {\ Delta t} {RC}) ^ {\ frac {-1} {\ frac {\ Delta t} {RC}}} = e $$ Finalmente: $$ v_c (t) = V (1-e ^ {\ frac {-t} {RC}}) $$