¿Cómo reescribe una función de transferencia a la forma estándar?

Para obtener el formulario estándar, factoriza el polinomio de denominador y denominador. Entonces tus polinomios tendrán la forma \ $ K_ {1} (s - z_1) (s - z_2) \ cdots (s - z_n) \ $ y \ $ K_2 (s - p_1) (s - p_2) \ cdots (s - p_n) \ $. Luego identifique cualquier par conjugado complejo entre los \ $ z_k \ $ y multiplíquelos. Si, por ejemplo, \ $ z_1 = z_2 ^ * \ $, entonces $$ (s - z_1) (s - z_2) = s ^ 2 - 2 \ mathrm {Re} (z_1) s + | z_1 | ^ 2 = | z_1 | ^ 2 \ left (1 - \ frac {2 \ mathrm {Re } (z_1)} {| z_1 | ^ 2} s + \ frac {s ^ 2} {| z_1 | ^ 2} \ derecha). $$ Ahora identificar $$ \ begin {align} \ omega_1 ^ 2 & = | z_1 | ^ 2 \\ 1 / Q_1 & = - \ frac {2 \ mathrm {Re} (z_1)} {| z_1 |} \ end {align} $$ y obtienes la forma prescrita del segundo término de orden. Para las raíces restantes \ $ z_k \ $, que serán reales, extraiga los factores como $$ (s - z_k) = -z_k (1 - \ frac {s} {z_k}). $$ e identifique \ $ \ omega_k = -z_k \ $.

Repita para las raíces del denominador \ $ p_k \ $, y reúna las constantes en el frente para obtener el factor \ $ K \ $. Las raíces que obtuvo de Wolfram Alpha son, hasta los factores de \ $ i \ $ que conectan \ $ s \ $ a \ $ \ omega \ $, exactamente el \ $ p_k \ $. Algunas veces, de hecho, terminan siendo un poco peludas, pero a menudo es posible simplificarlas identificando factores comunes (como resistencias en paralelo, productos RC que siempre aparecen juntos, etc.).

Finalmente, si el polinomio tiene una raíz \ $ 0 \ $ con multiplicity \ $ k \ $ , estos serán factores de la forma. $$ \ left (\ frac {s} {\ omega_m} \ right) ^ k, $$ que puedes llevar al frente. Los factores \ $ \ omega_m \ $ ahora son ambiguos, ya que en principio puede incluir cualquiera de ellos en \ $ K \ $, pero a menudo en la práctica hay una opción significativa. Por ejemplo, si está diseñando un filtro con una banda de paso determinada, considera que \ $ K \ $ es la ganancia (y la fase) de la banda de paso, y que la parte restante es \ $ \ omega_m ^ k \ $.

Las raíces \ $ z_k \ $ del nominador se denominan ceros de la función de transferencia, ya que esos son los valores complejos de \ $ s \ $ donde la función de transferencia es de hecho el valor cero . Las raíces \ $ p_k \ $ del denominador son los polos , ya que esos son los valores de \ $ s \ $ donde la función de transferencia diverge, que de hecho parece un polo que sobresale de la \ $ s \ $ -planee si lo grafica.

Tenga en cuenta que factorizar un polinomio (sobre los números complejos) requiere encontrar sus raíces. Para un polinomio de segundo orden, la fórmula cuadrática le da la respuesta de inmediato. Para los polinomios de tercer y cuarto orden están los cubic y quartic formulas. La fórmula cúbica ya es bastante larga, y la fórmula quártica se trata de una página completa en letra pequeña, por lo que a menudo no es útil en la práctica. Para pedidos superiores a cinco, no existe una fórmula general , aunque a menudo se pueden resolver casos especiales.

Además de usar las fórmulas generales, la topología del circuito a menudo proporciona simplificaciones considerables. Por ejemplo, en el caso de dos secciones de segundo orden separadas por un búfer, puede analizar las dos secciones por separado utilizando la forma cuadrática, y la forma estándar de la función de transferencia combinada es directamente el producto de las formas estándar de las secciones individuales. Lo mismo se aplica a cualquier número de secciones separadas por búferes, que es una de las razones principales por las que los filtros de alto orden generalmente se diseñan como series de secciones de segundo orden.

Si, al final, no puede encontrar explícitamente las raíces, o son demasiado complicadas de usar, aún puede aprender sobre su circuito al estudiar discriminants , que le informa sobre posibles conjugados complejos o raíces reales. En su caso específico (asumiendo que sus raíces son correctas, no lo comprobé), el discriminante es el término dentro de las raíces cuadradas, $$ \ Delta = C_f L_2 R_f ^ 2 + C_f L_1 R_f ^ 2 - 4 L_1 L_2. $$ Si esto es negativo, tienes un par complejo de raíces conjugadas que conducen a un término de segundo orden, y es positivo, obtienes dos raíces reales. Puede dividir por \ $ L_2 \ $ y \ $ C_f \ $ para obtener la expresión $$ \ tilde {\ Delta} \ triangleq R_f ^ 2 \ left (1 + \ frac {L_1} {L_2} \ right) - 4 \ frac {L_1} {C_f}, $$ que tiene el mismo signo que el discriminante. Desde aquí puede ver, por ejemplo, que si \ $ C_f \ $ es lo suficientemente pequeño, o \ $ R_f \ $ es lo suficientemente pequeño, obtiene un par de conjugados complejos.

La función de transferencia de este circuito se puede determinar en unas pocas líneas sin escribir una sola ecuación. Use las Técnicas de Circuitos Analíticos Rápidos o HECHOS para llegar allí. Primero analice el circuito en \ $ s = 0 \ $, en dc: abrir mayúsculas y haga un cortocircuito en los inductores. Tienes \ $ H_0 = L_2 / (L_1 + L_2) \ $. Luego, determina las constantes de tiempo de ese circuito. Para hacerlo, reduzca la excitación a 0 V o reemplace \ $ V_ {in} \ $ por un cortocircuito. Verá que \ $ L_ {1} \ $ viene en \ $ || \ $ con \ $ L_ {2} \ $ (\ $ L_ {eq} \ $): este es un caso degenerado y la red pierde un pedido . Este es un circuito de segundo orden a pesar de la presencia de tres elementos de almacenamiento de energía. Desde ese circuito, determine la resistencia vista desde \ $ C_f \ $ temporario removido del circuito mientras \ $ L_ {1} \ $ y \ $ L_ {2} \ $ se reemplazan por un cortocircuito: usted ve \ $ R_f \ PS La primera constante de tiempo es \ $ \ tau_ {1} = R_fC_f \ $. Luego, haga lo mismo en \ $ L_ {eq} \ $ terminales (\ $ C_f \ $ está en su estado dc y se eliminó) y verá una resistencia infinita: \ $ \ tau_2 = L_1 / R_ {inf} = 0 \ PS Tiene el primer \ $ b_1 \ $ coeficiente: \ $ b_1 = R_fC_f \ $. Para el término de segundo orden, determine la resistencia de conducción \ $ L_ {eq} \ $ mientras que \ $ C_f \ $ se reemplaza por un cortocircuito: verá \ $ R_f \ $ y \ $ \ tau_ {12} = L_f / R_f \ $. El segundo coeficiente \ $ b_2 \ $ es simplemente \ $ \ tau_ {1} \ tau_ {12} = R_fC_fL_ {eq} / R_f = C_f (L_1 || L_2) \ $. Esto es, tienes el denominador \ $ D (s) = 1 + sR_fC_f + s²C_f (L_1 || L_2) \ $. Ahora el cero. ¿Qué combinación de impedancia en ese circuito impide que \ $ V_ {in} \ $ produzca una respuesta \ $ V_ {out} = 0 \ $ en la frecuencia cero? Bueno, si la combinación en serie de \ $ R_f \ $ y \ $ 1 / sC_f \ $ se convierte en un cortocircuito transformado, la respuesta se anula. Este es nuestro cero: \ $ \ omega_z = 1 / R_fC_f \ $. La expresión completa es entonces:

$$ H (s) = \ frac {L_2} {L_1 + L_2} \ frac {1 + sR_fC_f} {1 + sR_fC_f + s²C_f (L_1 || L_2)} $$

o

$$ H (s) = H_0 \ frac {1 + s / \ omega_z} {1 + \ frac {s} {Q \ omega_0} + (\ frac {s} {\ omega_0}) ^ 2} $ $

con

\ $ H_0 = L_2 / (L_1 + L_2), \ omega_z = 1 / R_fC_f, \ omega_0 = 1 / \ sqrt {L_ {eq} Cf>, Q = \ frac {1} {R_f} \ sqrt L_ {eq} {C_f}} \ $

Tenga en cuenta que, en teoría, para \ $ s = 0 \ $, la resistencia de entrada de ese circuito es un cortocircuito: - | El circuito real incluiría pérdidas óhmicas para \ $ L_2 \ $ (\ $ r_ {L2} \ $) y \ $ L_1 \ $ (\ $ r_ {L1} \ $). En este caso, la ganancia de CD se convertiría en \ $ r_ {L2} / (r_ {L1} + r_ {L2}) \ $, el denominador se convertiría en un tercer orden y aparecería un nuevo cero (\ $ \ omega_ {z2 } = r_ {L2} / L_2 \ $).

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