El rebobinado no está indicado; lo más probable es que el ruido provenga del núcleo, no de los devanados.
Hay un par de cosas que puedes hacer para mitigar esto, especialmente si las laminaciones del núcleo están visiblemente sueltas. Una cosa rápida que se puede intentar si el núcleo tiene orificios pasantes es colocar tornillos largos a través de los orificios y apretarlos hacia abajo.
Otra cosa que hay que intentar es desmontar el núcleo de los devanados y empaparlo en laca para evitar que las laminaciones vibren unas contra otras. Después de que lo empape, exprima cualquier exceso en un tornillo de banco mientras se seca.
Una cosa más que intentar (si tiene los recursos) es sujetar el núcleo en un tornillo de banco y hacer una soldadura de arco a través de las laminaciones en uno o más lados. A veces verá esto en los transformadores, ya que vienen de fábrica.
Si resulta que el problema ESTÁ en los devanados, también puedes tratar de empaparlos en laca.
Otra cosa que debe intentar: si hay espacio, coloque cuñas finas de madera afiladas entre el núcleo y el conjunto de enrollado. Esto comprimirá las laminaciones del núcleo y estirará los devanados, con la esperanza de reducir la vibración en ambos.